Личный кабинет

Векторы | Тест

ЕГЭ профиль · Задание 2

Введите ответ в поле и нажмите «Проверить». Если затрудняетесь — раскройте блок «Показать решение». Ответы можно вводить как с точкой, так и с запятой.

БЛОК 1 | Часть 1

Задача 1.1

Найдите длину вектора $2\vec{a} + \vec{b} - \vec{c}$, если $\vec{a}(-9;\,6)$, $\vec{b}(9;\,-8)$ и $\vec{c}(6;\,-4)$.

Показать решение
$2\vec a+\vec b-\vec c=(-18;12)+(9;-8)+(-6;4)=(-15;8)$
$|2\vec a+\vec b-\vec c|=\sqrt{225+64}=\sqrt{289}=17$
Ответ: 17
Задача 1.2

Найдите скалярное произведение векторов $\vec{a}\cdot\vec{b}$, таких что $|\vec{a}| = 6\sqrt{2}$, $|\vec{b}| = 8$, а угол $\varphi$ между векторами равен $135^\circ$.

Показать решение
$\vec a\cdot\vec b=|\vec a|\,|\vec b|\cos\varphi=6\sqrt{2}\cdot 8\cdot\cos 135^\circ$
$=6\sqrt{2}\cdot 8\cdot\left(-\dfrac{\sqrt{2}}{2}\right)=-48$
Ответ: −48
Задача 1.3

На координатной плоскости изображены векторы $\vec{a}$ и $\vec{b}$. Найдите скалярное произведение $\vec{a}\cdot\vec{b}$.

0 1 1 x y b a
Показать решение
По рисунку: $\vec{a}(8;\,6)$, $\vec{b}(3;\,-8)$.
$\vec a\cdot\vec b = 8\cdot 3 + 6\cdot(-8) = 24 - 48 = -24$
Ответ: −24
Задача 1.4

Найдите угол между векторами $\vec{a}(5;\,-11)$ и $\vec{b}(3;\,8)$. Ответ запишите в градусах.

Показать решение
$\vec a\cdot\vec b = 15 - 88 = -73$
$|\vec a|=\sqrt{146},\quad |\vec b|=\sqrt{73}$
$\cos\varphi = \dfrac{-73}{\sqrt{146}\cdot\sqrt{73}} = -\dfrac{\sqrt{2}}{2}$
$\varphi = 135^\circ$
Ответ: 135

БЛОК 2 | Часть 2

Задача 2.1

Даны векторы $\vec{a}(2;\,-1)$, $\vec{b}(1;\,3)$ и $\vec{c}(6;\,x)$. Длина вектора $2\vec{a} + 2\vec{b} - \vec{c}$ равна 5. Найдите $x$, если известно, что $x > 0$.

Показать решение
$2\vec a+2\vec b-\vec c=(4;-2)+(2;6)-(6;x)=(0;\,4-x)$
$|4-x|=5 \Rightarrow x=-1$ или $x=9$
Так как $x>0$, получаем $x=9$.
Ответ: 9
Задача 2.2

Даны векторы $\vec{a}(2;\,0;\,-2)$, $\vec{b}(2;\,-1;\,3)$ и $\vec{c}(x;\,1;\,2)$. Известно, что векторы $\vec{a} - \vec{b} - \vec{c}$ и $\vec{a} + \vec{b}$ перпендикулярны. Найдите $x$.

Показать решение
$\vec a-\vec b-\vec c=(-x;\,0;\,-7)$
$\vec a+\vec b=(4;\,-1;\,1)$
Условие перпендикулярности: скалярное произведение равно нулю.
$-4x+0-7=0 \Rightarrow x=-\dfrac{7}{4}=-1{,}75$
Ответ: −1,75
Задача 2.3

Даны векторы $\vec{a}(3;\,7)$, $\vec{b}(8;\,9)$. Найдите длину вектора $1{,}2\vec{a} - 0{,}7\vec{b}$.

Показать решение
$1{,}2\vec a-0{,}7\vec b=(3{,}6;\,8{,}4)-(5{,}6;\,6{,}3)=(-2;\,2{,}1)$
$\sqrt{4+4{,}41}=\sqrt{8{,}41}=2{,}9$
Ответ: 2,9
Задача 2.4

Даны векторы $\vec{a}(-1;\,3)$, $\vec{b}(4;\,1)$ и $\vec{c}(2;\,c_0)$. Найдите $c_0$, если $(\vec{a} + \vec{b})\cdot\vec{c} = 0$.

Показать решение
$\vec a+\vec b=(3;\,4)$
$(\vec a+\vec b)\cdot\vec c=3\cdot 2+4\cdot c_0=6+4c_0=0$
$c_0=-1{,}5$
Ответ: −1,5
Задача 2.5

Даны векторы $\vec{a}(4;\,-1)$ и $\vec{b}(b_0;\,8)$. Найдите $b_0$, если $|\vec{b}| = 2{,}5\,|\vec{a}|$. Если таких значений несколько, в ответ запишите большее из них.

Показать решение
$|\vec a|=\sqrt{16+1}=\sqrt{17}$
$|\vec b|=\sqrt{b_0^2+64}=2{,}5\sqrt{17}$
$b_0^2+64=106{,}25 \Rightarrow b_0^2=42{,}25$
$b_0=\pm 6{,}5$
В ответ записываем большее значение: $6{,}5$.
Ответ: 6,5
Задача 2.6

Даны векторы $\vec{a}(-2;\,4)$ и $\vec{b}(2;\,-1)$. Известно, что векторы $\vec{c}(x_c;\,y_c)$ и $\vec{b}$ сонаправленные, а $|\vec{c}| = |\vec{a}|$. Найдите $x_c + y_c$.

Показать решение
$|\vec a|=\sqrt{4+16}=\sqrt{20}=2\sqrt{5}$
$|\vec b|=\sqrt{4+1}=\sqrt{5}$
Так как $\vec c$ сонаправлен $\vec b$, то $\vec c = k\vec b$, $k>0$.
$|k|\cdot\sqrt{5}=2\sqrt{5} \Rightarrow k=2$
$\vec c=(4;\,-2)$
$x_c+y_c=4+(-2)=2$
Ответ: 2
Готово!

Проверьте себя: если какая-то задача не получилась — откройте решение, разберитесь в шагах и попробуйте решить её заново без подсказки.

Made on
Tilda