Модуль 1 | Линейные уравнения

Алгебра

Что такое линейное уравнение?

Линейное уравнение — это уравнение, которое можно привести к виду, где переменная находится только в первой степени.

Общий вид линейного уравнения

$A \cdot x = B$

$A, B$ — заданные числа $x$ — переменная (может быть любая буква: $x, y, t$ и т.д.)

Общая схема решения

В зависимости от значений коэффициентов $A$ и $B$, линейное уравнение может иметь одно решение, не иметь решений вовсе или иметь бесконечно много решений.

$A \neq 0$ и $B \neq 0$

$A \cdot x = B$

$x = \dfrac{B}{A}$

Одно единственное решение

$A = 0$, $B \neq 0$

$0 \cdot x = B$

$\emptyset$

Нет корней (решений)

$A = 0$, $B = 0$

$0 \cdot x = 0$

$x$ — любое число

Бесконечно много решений

Как решать линейные уравнения?

Большинство уравнений сводятся к виду $Ax = B$ с помощью простых алгебраических преобразований. Вот пошаговый алгоритм:

Раскрыть все скобки

Если в уравнении есть скобки, раскройте их, умножив число перед скобкой на каждое слагаемое внутри.

Перенести переменные и числа

Все слагаемые с переменной ($x$) перенесите в левую часть, а все числа — в правую. Важно: при переносе через знак равно знак слагаемого меняется на противоположный!

Привести подобные слагаемые

Сложите все $x$ между собой и все числа между собой. Уравнение должно принять вид $Ax = B$.

4
Найти $x$Разделите обе части уравнения на коэффициент перед $x$ (число $A$). Вы получите ответ по общей схеме решения.

Разбор примеров

Попробуйте решить примеры самостоятельно, а затем проверьте себя, введя ответ в поле. Если возникнут трудности, откройте подсказку с пошаговым решением.

Пример 1. Уравнение со скобками

$2(x + 3) - 3(x + 2) = 5 - 4(x + 1)$

Ответ:

Посмотреть решение

1) Раскрываем скобки:

$2x + 6 - 3x - 6 = 5 - 4x - 4$

2) Переносим переменные влево, числа вправо (меняя знаки):

$4x + 2x - 3x = 5 - 4 + 6 - 6$

3) Приводим подобные слагаемые:

$3x = 1$

4) Находим $x$:

$x = \dfrac{1}{3}$

Ответ: $\frac{1}{3}$ (или $\approx 0,33$)

Пример 2. Простое уравнение

$4(x + 1) = -1$

Ответ:

Посмотреть решение

Раскрываем скобки:

$4x + 4 = -1$

Переносим число вправо:

$4x = -1 - 4$

$4x = -5$

Находим $x$:

$x = -\dfrac{5}{4} = -1,25$

Ответ: $-1,25$

Пример 3. Уравнение с дробью

$\dfrac{6}{x + 5} = -5$

Свойство пропорции: $\dfrac{a}{b} = \dfrac{c}{d} \Rightarrow a \cdot d = c \cdot b$

Ответ:

Посмотреть решение

1) Представим правую часть в виде дроби:

$\dfrac{6}{x + 5} = \dfrac{-5}{1}$

2) Применим свойство пропорции:

$(x + 5) \cdot (-5) = 6 \cdot 1$

$-5x - 25 = 6$

$-5x = 31$

$x = -6,2$

Ответ: $-6,2$

Пример 4. Приведение к общему знаменателю

$\dfrac{x}{3} - 9 = x$

Ответ:

Посмотреть решение

$\dfrac{x}{3} - \dfrac{27}{3} = \dfrac{3x}{3}$

$x - 27 = 3x$

$x - 3x = 27$

$-2x = 27$

$x = -13,5$

Ответ: $-13,5$

Тренировочные задания

Решите уравнения самостоятельно. Вводите числовой ответ (десятичную дробь с запятой или точкой, либо обыкновенную дробь через /). Для уравнений без корней введите нет, для бесконечного множества решений — любое.

1) $5(x - 4) = x + 8$

Решение

$5x - 20 = x + 8$

$5x - x = 8 + 20$

$4x = 28$

$x = 7$

Ответ: 7

2) $\dfrac{x}{2} + \dfrac{x}{3} = 5$

Решение

$6 \cdot \dfrac{x}{2} + 6 \cdot \dfrac{x}{3} = 6 \cdot 5$

$3x + 2x = 30$

$5x = 30$

$x = 6$

Ответ: 6

3) $9 - 7(x + 3) = 5 - 6x$

Решение

$9 - 7x - 21 = 5 - 6x$

$-7x - 12 = 5 - 6x$

$-7x + 6x = 5 + 12$

$-x = 17$

$x = -17$

Ответ: -17

4) $\dfrac{x-1}{3} = \dfrac{4}{5}$

Решение

$5(x - 1) = 3 \cdot 4$

$5x - 5 = 12$

$5x = 17$

$x = 3,4$

Ответ: 3,4

5) $(7x + 9) - (11x - 7) = 8$

Решение

$7x + 9 - 11x + 7 = 8$

$-4x + 16 = 8$

$-4x = -8$

$x = 2$

Ответ: 2

6) $\dfrac{3x-1}{4} = \dfrac{x+2}{2}$

Решение

$3x - 1 = 2(x + 2)$

$3x - 1 = 2x + 4$

$3x - 2x = 4 + 1$

$x = 5$

Ответ: 5

7) $3,6 + 5y = 7(1,2 - y)$

Решение

$3,6 + 5y = 8,4 - 7y$

$12y = 4,8$

$y = 0,4$

Ответ: 0,4

8) $\dfrac{3}{x-2} = \dfrac{2}{x+1}$

Решение

$3(x + 1) = 2(x - 2)$

$3x + 3 = 2x - 4$

$x = -7$

Ответ: -7

9) $0,4(6 - 4t) = 1,9 - 0,5(3t - 7)$

Решение

$2,4 - 1,6t = 1,9 - 1,5t + 3,5$

$2,4 - 1,6t = 5,4 - 1,5t$

$-0,1t = 3$

$t = -30$

Ответ: -30

10) $\dfrac{3}{4}\left(\dfrac{1}{6}x - \dfrac{1}{3}\right) = 3x - 11\dfrac{1}{2}$

Решение

$\dfrac{1}{8}x - \dfrac{1}{4} = 3x - \dfrac{23}{2}$

$x - 2 = 24x - 92$

$90 = 23x$

$x = \dfrac{90}{23}$

Ответ: $\frac{90}{23}$

11) $5x + 8 = 3(2x - 4) - x$

Решение

$5x + 8 = 6x - 12 - x$

$5x + 8 = 5x - 12$

$0 = -20$

Ответ: нет корней

12) $4,1(2 - 3x) = 12 - (12,3x + 3,8)$

Решение

$8,2 - 12,3x = 12 - 12,3x - 3,8$

$0 = 0$

Ответ: любое число