Личный кабинет

Задание 9 | Уравнения

ОГЭ · Расширенный тест

Введите ответ в поле и нажмите «Проверить». Если затрудняетесь — раскройте блок «Показать решение». Ответы можно вводить как с точкой, так и с запятой.

БЛОК 1 | Линейные уравнения и пропорции

Задача 1.1

Найдите корень уравнения \(8 + 3(4 - x) = 2x + 7\).

Показать решение
Раскроем скобки: \(8 + 12 - 3x = 2x + 7\).
Приведем подобные слагаемые: \(20 - 3x = 2x + 7\).
Перенесем слагаемые с \(x\) влево, а числа вправо: \(-3x - 2x = 7 - 20 \Rightarrow -5x = -13\).
\(x = \dfrac{-13}{-5} = 2{,}6\)
Ответ: 2,6
Задача 1.2

Найдите корень уравнения \(\dfrac{x}{7} = 3x + 10\).

Показать решение
Умножим обе части уравнения на 7: \(x = 7(3x + 10)\).
Раскроем скобки: \(x = 21x + 70\).
Перенесем неизвестные влево: \(x - 21x = 70 \Rightarrow -20x = 70\).
\(x = \dfrac{70}{-20} = -3{,}5\)
Ответ: -3,5
Задача 1.3

Найдите корень уравнения \(7 - 2(3 - x) = 6x + 3\).

Показать решение
Раскроем скобки: \(7 - 6 + 2x = 6x + 3\).
Приведем подобные: \(1 + 2x = 6x + 3\).
Перенесем неизвестные влево: \(2x - 6x = 3 - 1 \Rightarrow -4x = 2\).
\(x = \dfrac{2}{-4} = -0{,}5\)
Ответ: -0,5
Задача 1.4

Найдите корень уравнения \(x - 8 = \dfrac{x}{4} + 2{,}5\).

Показать решение
Умножим обе части на 4, чтобы избавиться от дроби: \(4x - 32 = x + 10\).
Перенесем неизвестные влево, числа вправо: \(4x - x = 10 + 32\).
\(3x = 42\).
\(x = 14\)
Ответ: 14
Задача 1.5

Найдите корень уравнения \(\dfrac{7}{5-x} = 2\).

Показать решение
Умножим обе части на знаменатель (при \(x \neq 5\)): \(7 = 2(5 - x)\).
Раскроем скобки: \(7 = 10 - 2x\).
Перенесем неизвестные влево: \(2x = 10 - 7 \Rightarrow 2x = 3\).
\(x = 1{,}5\)
Ответ: 1,5
Задача 1.6

Найдите корень уравнения \(4(3-x) = 13\).

Показать решение
Раскроем скобки: \(12 - 4x = 13\).
Перенесем 12 вправо: \(-4x = 13 - 12 \Rightarrow -4x = 1\).
\(x = -\dfrac{1}{4} = -0{,}25\)
Ответ: -0,25
Задача 1.7

Найдите корень уравнения \(4(1-2x) + x = 6 - 3x\).

Показать решение
Раскроем скобки: \(4 - 8x + x = 6 - 3x\).
Приведем подобные: \(4 - 7x = 6 - 3x\).
Перенесем неизвестные влево: \(-7x + 3x = 6 - 4 \Rightarrow -4x = 2\).
\(x = \dfrac{2}{-4} = -0{,}5\)
Ответ: -0,5
Задача 1.8

Найдите корень уравнения \(3x^2 + 4x - 7 = 6x^2 + 9x - (3x^2 - 5)\).

Показать решение
Раскроем скобки в правой части: \(3x^2 + 4x - 7 = 6x^2 + 9x - 3x^2 + 5\).
Приведем подобные в правой части: \(3x^2 + 4x - 7 = 3x^2 + 9x + 5\).
Перенесем все слагаемые с \(x^2\) влево. Они взаимно уничтожатся: \(3x^2 - 3x^2 + 4x - 9x = 5 + 7\).
\(-5x = 12 \Rightarrow x = -2{,}4\)
Ответ: -2,4
Задача 1.9

Найдите корень уравнения \((x - 3)^2 + (x - 2)^2 = 2x^2 + 15\).

Показать решение
Применим формулы квадрата разности: \((x^2 - 6x + 9) + (x^2 - 4x + 4) = 2x^2 + 15\).
Приведем подобные в левой части: \(2x^2 - 10x + 13 = 2x^2 + 15\).
Квадраты уничтожаются: \(-10x + 13 = 15\).
\(-10x = 2 \Rightarrow x = -0{,}2\)
Ответ: -0,2
Задача 1.10

Найдите корень уравнения \(\dfrac{4}{x-8} = \dfrac{6}{x-3}\).

Показать решение
Применим основное свойство пропорции (перемножим крест-накрест):
\(4(x - 3) = 6(x - 8)\).
Раскроем скобки: \(4x - 12 = 6x - 48\).
Перенесем неизвестные влево, числа вправо: \(4x - 6x = -48 + 12\).
\(-2x = -36 \Rightarrow x = 18\)
Ответ: 18
Задача 1.11

Найдите корень уравнения \(x - 2 - 3(x+1) = -2(1-x) + 10\).

Показать решение
Раскроем скобки с обеих сторон: \(x - 2 - 3x - 3 = -2 + 2x + 10\).
Приведем подобные: \(-2x - 5 = 2x + 8\).
Перенесем \(x\) влево, числа вправо: \(-2x - 2x = 8 + 5 \Rightarrow -4x = 13\).
\(x = -\dfrac{13}{4} = -3{,}25\)
Ответ: -3,25

БЛОК 2 | Квадратные уравнения (неполные)

Задача 2.1

Решите уравнение \(25 - x^2 = 0\). Если уравнение имеет больше одного корня, в ответ запишите меньший из корней.

Показать решение
Перенесем \(x^2\) вправо: \(x^2 = 25\).
Извлекаем корень: \(x_1 = 5\), \(x_2 = -5\).
Нам нужен меньший корень.
Ответ: -5
Задача 2.2

Решите уравнение \(42x + 6x^2 = 0\). Если уравнение имеет больше одного корня, в ответ запишите меньший из корней.

Показать решение
Вынесем общий множитель \(6x\) за скобки: \(6x(7 + x) = 0\).
Произведение равно нулю, когда хотя бы один из множителей равен нулю: \(x = 0\) или \(7 + x = 0 \Rightarrow x = -7\).
Корни: 0 и -7. Меньший из них: -7.
Ответ: -7
Задача 2.3

Решите уравнение \(6x^2 - 2\dfrac{4}{25} = 0\). Если уравнение имеет больше одного корня, в ответ запишите меньший из корней.

Показать решение
Переведем смешанную дробь в неправильную: \(2\dfrac{4}{25} = \dfrac{54}{25}\).
Получаем: \(6x^2 = \dfrac{54}{25}\).
Разделим обе части на 6: \(x^2 = \dfrac{9}{25}\).
\(x = \pm\dfrac{3}{5} = \pm0{,}6\). Меньший корень: -0,6.
Ответ: -0,6
Задача 2.4

Решите уравнение \(4x^2 = 18x\). Если уравнение имеет больше одного корня, в ответ запишите меньший из корней.

Показать решение
Перенесем все в левую часть: \(4x^2 - 18x = 0\).
Вынесем \(2x\) за скобки: \(2x(2x - 9) = 0\).
Корни: \(x_1 = 0\) и \(2x - 9 = 0 \Rightarrow x_2 = 4{,}5\).
Меньший корень: 0.
Ответ: 0
Задача 2.5

Решите уравнение \(3x^2 - 11 = 16\). Если уравнение имеет больше одного корня, в ответ запишите больший из корней.

Показать решение
Перенесем -11 вправо: \(3x^2 = 27\).
Разделим на 3: \(x^2 = 9\).
Корни: \(x_1 = 3\), \(x_2 = -3\).
Больший корень: 3.
Ответ: 3

БЛОК 3 | Квадратные уравнения (полные)

Задача 3.1

Решите уравнение \(x^2 - 36 = 4x - 4\). Если уравнение имеет больше одного корня, в ответ запишите больший из корней.

Показать решение
Перенесем все в левую часть: \(x^2 - 4x - 32 = 0\).
По теореме Виета: \(x_1 + x_2 = 4\), \(x_1 \cdot x_2 = -32\).
Корни уравнения: 8 и -4.
Больший корень: 8.
Ответ: 8
Задача 3.2

Решите уравнение \(16 - x^2 = 6x\). Если уравнение имеет больше одного корня, в ответ запишите меньший из корней.

Показать решение
Умножим на -1 и перенесем все влево: \(x^2 + 6x - 16 = 0\).
По теореме Виета: \(x_1 + x_2 = -6\), \(x_1 \cdot x_2 = -16\).
Корни: -8 и 2.
Меньший корень: -8.
Ответ: -8
Задача 3.3

Решите уравнение \(5x^2 - 2x - 3 = 0\). Если уравнение имеет больше одного корня, в ответ запишите меньший из корней.

Показать решение
Найдем дискриминант: \(D = (-2)^2 - 4 \cdot 5 \cdot (-3) = 4 + 60 = 64\).
Найдем корни: \(x_{1,2} = \dfrac{2 \pm \sqrt{64}}{2 \cdot 5} = \dfrac{2 \pm 8}{10}\).
\(x_1 = \dfrac{10}{10} = 1\); \(x_2 = \dfrac{-6}{10} = -0{,}6\).
Меньший корень: -0,6.
Ответ: -0,6
Задача 3.4

Решите уравнение \((x+4)(x+3) = 2\). Если уравнение имеет больше одного корня, в ответ запишите больший из корней.

Показать решение
Раскроем скобки: \(x^2 + 7x + 12 = 2\).
Перенесем 2: \(x^2 + 7x + 10 = 0\).
По теореме Виета: \(x_1 + x_2 = -7\), \(x_1 \cdot x_2 = 10\).
Корни: -2 и -5.
Больший корень: -2.
Ответ: -2
Задача 3.5

Решите уравнение \((5x+2)(-x-4) = 0\). Если уравнение имеет больше одного корня, в ответ запишите больший из корней.

Показать решение
Произведение равно нулю, когда хотя бы один из множителей равен нулю:
\(5x + 2 = 0 \Rightarrow 5x = -2 \Rightarrow x_1 = -0{,}4\).
\(-x - 4 = 0 \Rightarrow -x = 4 \Rightarrow x_2 = -4\).
Больший корень: -0,4.
Ответ: -0,4
Задача 3.6

Решите уравнение \(x^2 - 15 = 2x\). Если уравнение имеет больше одного корня, в ответ запишите меньший из корней.

Показать решение
Перенесем 2x влево: \(x^2 - 2x - 15 = 0\).
По теореме Виета: \(x_1 + x_2 = 2\), \(x_1 \cdot x_2 = -15\).
Корни: 5 и -3.
Меньший корень: -3.
Ответ: -3
Готово!

Проверьте себя: если какая-то задача не получилась — откройте решение, разберитесь в шагах и попробуйте решить её заново без подсказки.

Made on
Tilda