Личный кабинет

Задание 13 | Неравенства и системы

ОГЭ · Расширенный тест

Введите номер правильного варианта ответа (1–4) в поле и нажмите «Проверить». Если затрудняетесь — раскройте блок «Показать решение».

БЛОК 1 | Линейные неравенства

Задача 1.1

Укажите решение неравенства \(8 - 4x > 6x + 18\).

1) \((-\infty; -1)\)
2) \((-1; +\infty)\)
3) \((-\infty; -1]\)
4) \([-1; +\infty)\)
Показать решение
Перенесем слагаемые с \(x\) влево, а числа вправо:
\(-4x - 6x > 18 - 8\)
\(-10x > 10\)
Разделим на отрицательное число, знак неравенства меняется:
\(x < -1\)
Ответ: 1
Задача 1.2

Укажите решение неравенства \(15 - 3(4 - x) \ge 5x - 1\).

1) \((-\infty; 2]\)
2) \([2; +\infty)\)
3) \((-\infty; 2)\)
4) \((2; +\infty)\)
Показать решение
Раскроем скобки:
\(15 - 12 + 3x \ge 5x - 1\)
\(3 + 3x \ge 5x - 1\)
Перенесем \(x\) влево, числа вправо:
\(3x - 5x \ge -1 - 3\)
\(-2x \ge -4\)
Разделим на \(-2\), знак меняется:
\(x \le 2\)
Ответ: 1
Задача 1.3

Укажите решение неравенства \(-3x + 7 \le -4x - 2\).

1) \((-\infty; -9]\)
2) \([-9; +\infty)\)
3) \((-\infty; 9]\)
4) \([9; +\infty)\)
Показать решение
Перенесем \(-4x\) влево, а \(7\) вправо:
\(-3x + 4x \le -2 - 7\)
\(x \le -9\)
Ответ: 1
Задача 1.4

Укажите решение неравенства \(10 - 2(x - 4) \le 5x - 3\).

1) \((-\infty; 3]\)
2) \([3; +\infty)\)
3) \((-\infty; -3]\)
4) \([-3; +\infty)\)
Показать решение
Раскроем скобки:
\(10 - 2x + 8 \le 5x - 3\)
\(18 - 2x \le 5x - 3\)
Перенесем \(x\) влево:
\(-2x - 5x \le -3 - 18\)
\(-7x \le -21\)
\(x \ge 3\)
Ответ: 2
Задача 1.5

На каком рисунке изображено множество решений неравенства \(3x - 5 \ge -4x + 9\)? В ответе укажите номер правильного варианта.

1) -2
2) -2
3) 2
4) 2
Показать решение
Перенесем \(x\) влево, числа вправо:
\(3x + 4x \ge 9 + 5\)
\(7x \ge 14\)
\(x \ge 2\)
Это соответствует рисунку 4 (закрашенная точка, штриховка вправо).
Ответ: 4

БЛОК 2 | Системы неравенств

Задача 2.1

Укажите решение системы неравенств:

\(\begin{cases} -25 + 5x > 0 \\ 12 - 3x < -6 \end{cases}\)
1) \(x > 5\)
2) \(x > 6\)
3) \(x < 5\)
4) \(x < 6\)
Показать решение
Решим первое неравенство:
\(5x > 25 \Rightarrow x > 5\)
Решим второе неравенство:
\(-3x < -18 \Rightarrow x > 6\)
Общее решение (пересечение): \(x > 6\).
Ответ: 2
Задача 2.2

Укажите решение системы неравенств:

\(\begin{cases} 2 - x \ge 5 \\ x + 5 \le 1{,}2 \end{cases}\)
1) \(x \le -3\)
2) \(x \le -3{,}8\)
3) \(x \ge -3\)
4) \(x \ge -3{,}8\)
Показать решение
Решим первое неравенство:
\(-x \ge 3 \Rightarrow x \le -3\)
Решим второе неравенство:
\(x \le 1{,}2 - 5 \Rightarrow x \le -3{,}8\)
Общее решение (пересечение): \(x \le -3{,}8\).
Ответ: 2
Задача 2.3

На каком рисунке изображено множество решений системы неравенств?

\(\begin{cases} x > 2 \\ 5 - x < 0 \end{cases}\)
1) 2
2) 5
3) 5
4) 2
Показать решение
Решим второе неравенство: \(5 - x < 0 \Rightarrow x > 5\).
Система: \(x > 2\) и \(x > 5\). Пересечение: \(x > 5\).
Это соответствует рисунку 2.
Ответ: 2

БЛОК 3 | Квадратные неравенства

Задача 3.1

Укажите решение неравенства \((x + 7)(x - 4) > 0\).

1) \((-7; 4)\)
2) \((-\infty; -7) \cup (4; +\infty)\)
3) \((-\infty; -7] \cup [4; +\infty)\)
4) \([-7; 4]\)
Показать решение
Решим методом интервалов. Найдем нули функции: \(x = -7\) и \(x = 4\).
Отметим точки на числовой прямой (выколотые, т.к. неравенство строгое) и определим знаки:
+ − + -7 4
Нам нужны интервалы, где выражение больше нуля (знак "+"):
\((-\infty; -7) \cup (4; +\infty)\)
Ответ: 2
Задача 3.2

Укажите решение неравенства \(x^2 - 6x \le 0\).

1) \((-\infty; 0] \cup [6; +\infty)\)
2) \([0; 6]\)
3) \((0; 6)\)
4) \((-\infty; 0) \cup (6; +\infty)\)
Показать решение
Разложим на множители, вынеся \(x\) за скобки:
\(x(x - 6) \le 0\)
Нули: \(x = 0\) и \(x = 6\) (закрашенные точки).
Определим знаки на интервалах:
+ − + 0 6
Неравенство \(\le 0\), значит, выбираем интервал со знаком "−":
\([0; 6]\)
Ответ: 2
Задача 3.3

Укажите решение неравенства \(x^2 - 25 \ge 0\).

1) \([-5; 5]\)
2) \((-\infty; -5] \cup [5; +\infty)\)
3) \((-5; 5)\)
4) \((-\infty; -5) \cup (5; +\infty)\)
Показать решение
Разложим на множители по формуле разности квадратов:
\((x - 5)(x + 5) \ge 0\)
Нули: \(x = -5\) и \(x = 5\) (закрашенные точки).
Метод интервалов:
+ − + -5 5
Неравенство \(\ge 0\), выбираем интервалы со знаком "+":
\((-\infty; -5] \cup [5; +\infty)\)
Ответ: 2
Задача 3.4

На каком рисунке изображено множество решений неравенства \(x^2 \le 16\)?

1) -4 4
2) -4 4
3) 4
4) -4
Показать решение
Перенесем 16 влево и разложим на множители:
\(x^2 - 16 \le 0\)
\((x - 4)(x + 4) \le 0\)
Нули: \(x = -4\) и \(x = 4\) (закрашенные).
Метод интервалов:
+ − + -4 4
Так как знак \(\le 0\), выбираем интервал с минусом:
\([-4; 4]\)
Это соответствует рисунку 2.
Ответ: 2
Задача 3.5

Укажите неравенство, решение которого изображено на рисунке.

-3 6
1) \(x^2 - 3x - 18 \le 0\)
2) \(x^2 - 3x - 18 \ge 0\)
3) \(x^2 - 3x - 18 > 0\)
4) \(x^2 - 3x - 18 < 0\)
Показать решение
По рисунку корни равны \(-3\) и \(6\), а решением являются интервалы \((-\infty; -3) \cup (6; +\infty)\).
Составим уравнение с такими корнями: \((x + 3)(x - 6) = 0\). Раскроем скобки:
\(x^2 - 3x - 18 = 0\)
Метод интервалов для этого выражения:
+ − + -3 6
Так как на рисунке выделены интервалы со знаком "+", то неравенство имеет вид:
\(x^2 - 3x - 18 > 0\)
Ответ: 3
Задача 3.6

Укажите неравенство, которое не имеет решений.

1) \(x^2 - 25 < 0\)
2) \(x^2 + 25 > 0\)
3) \(x^2 + 25 < 0\)
4) \(x^2 - 25 > 0\)
Показать решение
Рассмотрим уравнение \(x^2 + 25 = 0\). Оно не имеет действительных корней, так как \(x^2 = -25\).
Это значит, что парабола \(y = x^2 + 25\) не пересекает ось \(Ox\) и лежит целиком выше неё (так как \(x^2 \ge 0\), то \(x^2 + 25 \ge 25 > 0\)).
Следовательно, неравенство \(x^2 + 25 < 0\) не выполняется ни при каких \(x\).
Ответ: 3
Задача 3.7

Укажите неравенство, решением которого является любое число.

1) \(x^2 - 15 < 0\)
2) \(x^2 - 15 > 0\)
3) \(x^2 + 15 < 0\)
4) \(x^2 + 15 > 0\)
Показать решение
Рассмотрим уравнение \(x^2 + 15 = 0\). Оно не имеет действительных корней (\(x^2 = -15\)).
Парабола \(y = x^2 + 15\) лежит целиком выше оси \(Ox\), так как \(x^2 \ge 0\) для любого \(x\), следовательно \(x^2 + 15 \ge 15 > 0\).
Значит, неравенство \(x^2 + 15 > 0\) верно при любом значении \(x\).
Ответ: 4
Made on
Tilda