Личный кабинет

Сложная вероятность | Тест

Задание 5 · ЕГЭ профиль

Введите ответ в поле и нажмите «Проверить». Если затрудняетесь — раскройте блок «Показать решение». Ответы можно вводить как с точкой, так и с запятой.

БЛОК 1 | Вероятность сложных событий

Задача 1.1

Четыре команды играют в футбол по системе «каждая с каждой». Перед каждой игрой судья бросает монету, чтобы определить, какая команда начинает. Найдите вероятность того, что команда «Сокол» будет начинать не менее двух раз.

Показать решение
Команда «Сокол» играет 3 матча. В каждом матче вероятность начинать равна 0,5. Нужно найти вероятность того, что она начнёт не менее двух раз (2 или 3).
$P(2) = C_3^2 \cdot 0{,}5^2 \cdot 0{,}5 = 3 \cdot 0{,}125 = 0{,}375$
$P(3) = 0{,}5^3 = 0{,}125$
$P = 0{,}375 + 0{,}125 = 0{,}5$
Ответ: 0,5
Задача 1.2

В классе 20 детей. Среди них есть два друга — Сергей и Иван. Класс случайным образом делят на две равные группы по 10 человек в каждой. Найдите вероятность того, что Сергей и Иван попадут в одну группу. Ответ округлите до сотых.

Показать решение
После того как Сергей попал в одну из групп, для Ивана остаётся 19 мест, из них 9 — в той же группе.
$P = \dfrac{9}{19} \approx 0{,}4737$
Округляем до сотых: $0{,}47$.
Ответ: 0,47
Задача 1.3

В ряд случайным образом рассаживаются четыре человека, среди которых два друга-одноклассника — Сергей и Иван. Найдите вероятность того, что два друга будут сидеть по краям. Ответ округлите до сотых.

Показать решение
Всего способов рассадить 4 человека: $4! = 24$.
Друзья должны занять два крайних места. Это можно сделать $2! = 2$ способами. Остальных двух человек можно посадить $2! = 2$ способами.
$P = \dfrac{2 \cdot 2}{24} = \dfrac{4}{24} = \dfrac{1}{6} \approx 0{,}1667$
Округляем до сотых: $0{,}17$.
Ответ: 0,17
Задача 1.4

При выпечке хлеба производится контрольное взвешивание свежей буханки. Известно, что вероятность того, что масса окажется меньше, чем 810 г, равна 0,96. Вероятность того, что масса окажется больше, чем 790 г, равна 0,93. Найдите вероятность того, что масса буханки больше, чем 790 г, но меньше, чем 810 г.

Показать решение
Пусть A: масса < 810 г, B: масса > 790 г. Тогда A ∪ B — все возможные массы, а A ∩ B — искомая масса от 790 до 810 г.
$P(A \cap B) = P(A) + P(B) - 1$
$P = 0{,}96 + 0{,}93 - 1 = 0{,}89$
Ответ: 0,89
Задача 1.5

В игровом зале рядом стоят пять игровых автоматов. Вероятность быть исправным в течение года у каждого из них одинакова и равна 0,9. Выходы из строя игровых автоматов — события независимые. Во сколько раз вероятность события «в течение года будут исправными все пять автоматов» больше вероятности события «в течение года будут исправными ровно три автомата»?

Показать решение
$P(\text{все 5}) = 0{,}9^5$
$P(\text{ровно 3}) = C_5^3 \cdot 0{,}9^3 \cdot 0{,}1^2 = 10 \cdot 0{,}9^3 \cdot 0{,}01$
$\dfrac{P(\text{все 5})}{P(\text{ровно 3})} = \dfrac{0{,}9^5}{10 \cdot 0{,}9^3 \cdot 0{,}01} = \dfrac{0{,}81}{0{,}1} = 8{,}1$
Ответ: 8,1
Задача 1.6

Детали на заводе производят три станка. Первый станок производит 40% всех деталей, производительности второго и третьего станков одинаковы. Среди деталей, выпущенных первым станком, 1% бракованных. Этот же показатель у второго станка равен 0,5%, у третьего — 0,4%. Найдите вероятность того, что наугад взятая деталь, выпущенная на этом заводе, будет бракована.

Показать решение
Доли станков: 1-й — 0,4; 2-й — 0,3; 3-й — 0,3.
$P = 0{,}4 \cdot 0{,}01 + 0{,}3 \cdot 0{,}005 + 0{,}3 \cdot 0{,}004$
$P = 0{,}004 + 0{,}0015 + 0{,}0012 = 0{,}0067$
Ответ: 0,0067
Задача 1.7

Ваня бросил игральный кубик, и у него выпало больше 2 очков. Петя бросил игральный кубик, и у него выпало меньше 6 очков. Найдите вероятность того, что у Пети выпало очков больше, чем у Вани.

Показать решение
У Вани возможны 4 исхода: 3, 4, 5, 6. У Пети — 5 исходов: 1, 2, 3, 4, 5. Всего пар: $4 \cdot 5 = 20$.
Петя > Ваня: (3;4), (3;5), (4;5) — 3 благоприятных пары.
$P = \dfrac{3}{20} = 0{,}15$
Ответ: 0,15
Задача 1.8

Перед началом волейбольного матча капитаны команд тянут честный жребий, чтобы определить, какая из команд начнёт игру с мячом. Команда «Стартер» по очереди играет с командами «Ротор», «Мотор» и «Монтёр». Найдите вероятность того, что «Стартер» будет начинать только вторую игру.

Показать решение
В каждой игре вероятность начинать равна 0,5. Нужно: не начинать 1-ю, начинать 2-ю, не начинать 3-ю.
$P = 0{,}5 \cdot 0{,}5 \cdot 0{,}5 = 0{,}125$
Ответ: 0,125
Задача 1.9

Вероятность того, что батарейка бракованная, равна 0,03. Покупатель в магазине выбирает случайную упаковку, в которой две таких батарейки. Найдите вероятность того, что обе батарейки окажутся исправными.

Показать решение
Вероятность того, что одна батарейка исправна: $1 - 0{,}03 = 0{,}97$.
$P = 0{,}97^2 = 0{,}9409$
Ответ: 0,9409
Задача 1.10

Чтобы пройти в следующий круг соревнований, футбольной команде нужно набрать хотя бы 9 очков в двух играх. Если команда выигрывает, она получает 7 очков, в случае ничьей — 2 очка, если проигрывает — 0 очков. Найдите вероятность того, что команде удастся выйти в следующий круг соревнований. Считайте, что в каждой игре вероятности выигрыша и проигрыша одинаковы и равны 0,2.

Показать решение
$P(\text{выигрыш}) = 0{,}2$, $P(\text{проигрыш}) = 0{,}2$, $P(\text{ничья}) = 0{,}6$.
Подходят исходы: ВВ (14 очков), ВН (9), НВ (9).
$P = 0{,}2 \cdot 0{,}2 + 0{,}2 \cdot 0{,}6 + 0{,}6 \cdot 0{,}2 = 0{,}04 + 0{,}12 + 0{,}12 = 0{,}28$
Ответ: 0,28
Задача 1.11

Две фабрики выпускают одинаковые стёкла для автомобильных фар. Первая фабрика выпускает 30% этих стёкол, вторая — 70%, причём брак стёкол, изготовленных на первой фабрике, составляет 5%, на второй — 4%. Найдите вероятность того, что случайно купленное в магазине стекло окажется бракованным.

Показать решение
$P = 0{,}3 \cdot 0{,}05 + 0{,}7 \cdot 0{,}04$
$P = 0{,}015 + 0{,}028 = 0{,}043$
Ответ: 0,043
Задача 1.12

На фабрике керамической посуды 30% произведённых тарелок имеют дефект. При контроле качества продукции выявляется 50% дефектных тарелок. Остальные тарелки поступают в продажу. Найдите вероятность того, что случайно купленная тарелка окажется без дефекта.

Показать решение
Дефектных: 30%, из них выявлено 50% — то есть 15% от всех тарелок. Остаётся 15% дефектных (невыявленных) и 70% без дефекта.
$P(\text{без дефекта}) = 0{,}70 + 0{,}15 = 0{,}85$
Ответ: 0,85
Задача 1.13

Агрофирма закупает куриные яйца в двух домашних хозяйствах. 95% яиц из первого хозяйства высшей категории, а из второго хозяйства — 45% яиц высшей категории. Всего высшую категорию получает 60% яиц. Найдите вероятность того, что яйцо, купленное у этой агрофирмы, окажется из первого хозяйства.

Показать решение
Пусть $p$ — доля яиц из первого хозяйства. По формуле полной вероятности:
$0{,}95p + 0{,}45(1 - p) = 0{,}6$
$0{,}5p = 0{,}15 \;\Rightarrow\; p = 0{,}3$
Примечание: в источнике указан ответ 0,75, что не согласуется с данными числами (при 82,5% ответ был бы 0,75).
Ответ: 0,3

БЛОК 2 | Последовательности испытаний

Задача 2.1

Симметричную монету бросают ровно 10 раз. Во сколько раз вероятность события «выпадет ровно 5 орлов» больше вероятности события «выпадет ровно 4 орла»?

Показать решение
$P(5) = \dfrac{C_{10}^5}{2^{10}},\quad P(4) = \dfrac{C_{10}^4}{2^{10}}$
$\dfrac{P(5)}{P(4)} = \dfrac{C_{10}^5}{C_{10}^4} = \dfrac{10!/(5!5!)}{10!/(4!6!)} = \dfrac{6}{5} = 1{,}2$
Ответ: 1,2
Задача 2.2

Игральную кость бросали до тех пор, пока сумма всех выпавших очков не превысила число 3. Какова вероятность того, что для этого потребовалось два броска? Ответ округлите до сотых.

Показать решение
Первый бросок должен дать сумму ≤ 3, то есть выпало 1, 2 или 3. Затем второй бросок должен сделать сумму > 3.
$P = \dfrac{1}{6}\cdot\dfrac{4}{6} + \dfrac{1}{6}\cdot\dfrac{5}{6} + \dfrac{1}{6}\cdot\dfrac{6}{6} = \dfrac{15}{36} = \dfrac{5}{12} \approx 0{,}4167$
Округляем до сотых: $0{,}42$.
Ответ: 0,42
Задача 2.3

Телефон передаёт SMS-сообщение. В случае неудачи телефон делает следующую попытку. Вероятность того, что сообщение удастся передать без ошибок в каждой отдельной попытке, равна 0,4. Найдите вероятность того, что для передачи сообщения потребуется не больше двух попыток.

Показать решение
Успех с первой попытки: $0{,}4$. Неудача с первой и успех со второй: $0{,}6 \cdot 0{,}4 = 0{,}24$.
$P = 0{,}4 + 0{,}24 = 0{,}64$
Ответ: 0,64
Задача 2.4

Стрелок в тире стреляет по мишени до тех пор, пока не поразит её. Известно, что он попадает в цель с вероятностью 0,2 при каждом отдельном выстреле. Какое наименьшее количество патронов нужно дать стрелку, чтобы он поразил цель с вероятностью не менее 0,6?

Показать решение
Вероятность промаха при одном выстреле равна $0{,}8$. После $n$ выстрелов вероятность хотя бы одного попадания: $1 - 0{,}8^n$.
$1 - 0{,}8^n \ge 0{,}6 \;\Rightarrow\; 0{,}8^n \le 0{,}4$
$0{,}8^4 = 0{,}4096 > 0{,}4$, а $0{,}8^5 = 0{,}32768 \le 0{,}4$. Значит, нужно $n = 5$.
Ответ: 5
Задача 2.5

В ящике четыре красных и два синих фломастера. Фломастеры вытаскивают по очереди в случайном порядке. Какова вероятность того, что первый раз синий фломастер появится третьим по счёту?

Показать решение
Первый синий третьим по счёту означает, что первые два фломастера красные, а третий — синий.
$P = \dfrac{4}{6} \cdot \dfrac{3}{5} \cdot \dfrac{2}{4} = \dfrac{24}{120} = 0{,}2$
Ответ: 0,2
Задача 2.6

Стрелок стреляет по пяти одинаковым мишеням. На каждую мишень даётся не более двух выстрелов, и известно, что вероятность поразить мишень каждым отдельным выстрелом равна 0,6. Во сколько раз вероятность события «стрелок поразит ровно пять мишеней» больше вероятности события «стрелок поразит ровно четыре мишени»?

Показать решение
Вероятность поразить мишень с двух выстрелов: $1 - 0{,}4^2 = 0{,}84$.
$P(5) = 0{,}84^5$
$P(4) = C_5^4 \cdot 0{,}84^4 \cdot 0{,}16 = 5 \cdot 0{,}84^4 \cdot 0{,}16$
$\dfrac{P(5)}{P(4)} = \dfrac{0{,}84}{5 \cdot 0{,}16} = \dfrac{0{,}84}{0{,}8} = 1{,}05$
Ответ: 1,05
Задача 2.7

В викторине участвуют 5 команд. Все команды разной силы, и в каждой встрече выигрывает та команда, которая сильнее. В первом раунде встречаются две случайно выбранные команды. Ничья невозможна. Проигравшая команда выбывает из викторины, а победившая команда играет со следующим случайно выбранным соперником. Известно, что в первом раунде победила команда А. Какова вероятность того, что эта команда выиграет третий раунд?

Показать решение
После победы в первом раунде команда А входит в четвёрку сильнейших (из оставшихся). В силу симметрии вероятность того, что А выиграет третий раунд, равна $0{,}5$.
Ответ: 0,5
Задача 2.8

Игральный кубик бросили один или несколько раз. Оказалось, что сумма всех выпавших очков равна 3. Какова вероятность того, что было сделано два броска? Ответ округлите до сотых.

Показать решение
Сумма 3 возможна в таких последовательностях: (3), (1,2), (2,1), (1,1,1).
$P(\text{сумма 3}) = \dfrac{1}{6} + \dfrac{2}{36} + \dfrac{1}{216} = \dfrac{49}{216}$
$P(\text{два броска} \mid \text{сумма 3}) = \dfrac{2/36}{49/216} = \dfrac{12}{49} \approx 0{,}2449$
Округляем до сотых: $0{,}24$.
Ответ: 0,24
Задача 2.9

При артиллерийской стрельбе автоматическая система делает выстрел по цели. Если цель не уничтожена, то система делает повторный выстрел. Выстрелы повторяются до тех пор, пока цель не будет уничтожена. Вероятность уничтожения некоторой цели при первом выстреле равна 0,3, а при каждом последующем — 0,6. Сколько выстрелов потребуется для того, чтобы вероятность уничтожения цели была не менее 0,97?

Показать решение
Вероятность того, что цель не уничтожена после $n$ выстрелов: $0{,}7 \cdot 0{,}4^{n-1}$.
$n=4:\; 1 - 0{,}7 \cdot 0{,}4^3 = 1 - 0{,}0448 = 0{,}9552 < 0{,}97$
$n=5:\; 1 - 0{,}7 \cdot 0{,}4^4 = 1 - 0{,}01792 = 0{,}98208 \ge 0{,}97$
Ответ: 5

БЛОК 3 | Комбинированные задачи

Задача 3.1

В торговом центре два одинаковых автомата продают кофе. Обслуживание автоматов происходит по вечерам после закрытия центра. Известно, что вероятность события «К вечеру в первом автомате закончится кофе» равна 0,25. Такая же вероятность события «К вечеру во втором автомате закончится кофе». Вероятность того, что кофе к вечеру закончится в обоих автоматах, равна 0,15. Найдите вероятность того, что к вечеру кофе останется в обоих автоматах.

Показать решение
Вероятность того, что кофе закончится хотя бы в одном автомате:
$0{,}25 + 0{,}25 - 0{,}15 = 0{,}35$
Тогда вероятность того, что кофе останется в обоих автоматах:
$1 - 0{,}35 = 0{,}65$
Ответ: 0,65
Задача 3.2

Автоматическая линия изготавливает батарейки. Вероятность того, что готовая батарейка неисправна, равна 0,02. Перед упаковкой каждая батарейка проходит систему контроля. Вероятность того, что система забракует неисправную батарейку, равна 0,97. Вероятность того, что система по ошибке забракует исправную батарейку, равна 0,05. Найдите вероятность того, что случайно выбранная изготовленная батарейка будет забракована системой контроля.

Показать решение
$P = 0{,}02 \cdot 0{,}97 + 0{,}98 \cdot 0{,}05$
$P = 0{,}0194 + 0{,}049 = 0{,}0684$
Ответ: 0,0684
Задача 3.3

Биатлонист стреляет по пяти мишеням — в каждую по одному разу. Вероятность попадания в каждую мишень равна 0,7. Найдите вероятность того, что биатлонист первые 3 раза попал в мишени, а последние два промахнулся. Результат округлите до сотых.

Показать решение
$P = 0{,}7^3 \cdot 0{,}3^2 = 0{,}343 \cdot 0{,}09 = 0{,}03087$
Округляем до сотых: $0{,}03$.
Ответ: 0,03
Задача 3.4

Помещение освещается тремя лампами. Вероятность перегорания каждой лампы в течение года равна 0,4. Лампы перегорают независимо друг от друга. Найдите вероятность того, что в течение года хотя бы одна лампа не перегорит.

Показать решение
Вероятность того, что перегорят все три лампы: $0{,}4^3 = 0{,}064$.
$P(\text{хотя бы одна не перегорит}) = 1 - 0{,}064 = 0{,}936$
Ответ: 0,936
Задача 3.5

Если шахматист А. играет белыми фигурами, то он выигрывает у шахматиста Б. с вероятностью 0,5. Если А. играет чёрными, то А. выигрывает у Б. с вероятностью 0,34. Шахматисты А. и Б. играют две партии, причём во второй партии меняют цвет фигур. Найдите вероятность того, что А. выиграет оба раза.

Показать решение
В первой партии А. играет белыми (или чёрными), во второй — наоборот. Вероятность выиграть обе партии:
$P = 0{,}5 \cdot 0{,}34 = 0{,}17$
Ответ: 0,17
Задача 3.6

В каждом из двух, стоящих рядом, кофейных автоматах может в течение дня закончиться кофе с вероятностью 0,45. Вероятность того, что в течение дня закончится кофе в обоих автоматах, равна 0,15. Найдите вероятность того, что в течение дня кофе не закончится ни в одном автомате.

Показать решение
Вероятность того, что кофе закончится хотя бы в одном автомате:
$0{,}45 + 0{,}45 - 0{,}15 = 0{,}75$
Тогда вероятность того, что кофе не закончится ни в одном:
$1 - 0{,}75 = 0{,}25$
Ответ: 0,25
Задача 3.7

На одной полке стоит 25 блюдец: 16 красных и 9 синих. На другой полке стоит 25 чашек: 13 красных и 12 синих. Наугад берут два блюдца и две чашки. Найдите вероятность, что из них можно будет составить две чайные пары (блюдце с чашкой), каждая из которых будет одного цвета.

Показать решение
Всего способов выбрать 2 блюдца и 2 чашки: $C_{25}^2 \cdot C_{25}^2 = 300 \cdot 300 = 90000$.
Благоприятные варианты:
2 красные пары: $C_{16}^2 \cdot C_{13}^2 = 120 \cdot 78 = 9360$
2 синие пары: $C_9^2 \cdot C_{12}^2 = 36 \cdot 66 = 2376$
1 красная + 1 синяя: $16 \cdot 9 \cdot 13 \cdot 12 = 22464$
$P = \dfrac{9360 + 2376 + 22464}{90000} = \dfrac{34200}{90000} = 0{,}38$
Ответ: 0,38
Задача 3.8

В верхнем ящике стола лежит 10 белых и 15 чёрных одинаковых по размеру кубиков. В нижнем ящике стола лежит 15 белых и 10 чёрных таких же кубиков. Аня наугад взяла из верхнего ящика два кубика, а Оля — два кубика из нижнего ящика. После этого Аня положила свои кубики в нижний ящик, а Оля — в верхний. Найдите вероятность того, что в верхнем ящике по-прежнему будет 10 белых и 15 чёрных кубиков.

Показать решение
Состав верхнего ящика не изменится, если наборы кубиков у Ани и Оли совпадут по числу белых.
Аня (верхний): 2 белых — 0,15; 1 белый + 1 чёрный — 0,5; 2 чёрных — 0,35.
Оля (нижний): 2 белых — 0,35; 1 белый + 1 чёрный — 0,5; 2 чёрных — 0,15.
$P = 0{,}15 \cdot 0{,}35 + 0{,}5 \cdot 0{,}5 + 0{,}35 \cdot 0{,}15 = 0{,}355$
Ответ: 0,355
Задача 3.9

В группе туристов 15 человек, в том числе три друга: Юра, Боря и Егор. Группу случайным образом разбивают на три равные подгруппы. Найдите вероятность того, что все трое окажутся в разных подгруппах. Ответ округлите до сотых.

Показать решение
Первый друг попадает в какую-то подгруппу. Второй должен попасть в одну из двух других: $\dfrac{10}{14}$.
Третий должен попасть в оставшуюся подгруппу: $\dfrac{5}{13}$.
$P = \dfrac{10}{14} \cdot \dfrac{5}{13} = \dfrac{50}{182} = \dfrac{25}{91} \approx 0{,}2747$
Округляем до сотых: $0{,}27$.
Ответ: 0,27
Готово!

Проверьте себя: если какая-то задача не получилась — откройте решение, разберитесь в шагах и попробуйте решить её заново без подсказки.

Made on
Tilda