Личный кабинет

Графики функций | Тест

ЕГЭ профиль · Задание 12

Введите ответ в поле и нажмите «Проверить». Если затрудняетесь — раскройте блок «Показать решение». Ответы можно вводить как с точкой, так и с запятой.

БЛОК 1 | Линейные функции, гиперболы и корни

Задача 1.1

На рисунке изображен график функции $f(x)=\dfrac{k}{x+a}$. Найдите $f(6)$.

Показать решение
1. Вертикальная асимптота $x = -2 \Rightarrow a = 2$.
2. Функция: $f(x)=\dfrac{k}{x+2}$. По точке $A(1, 1)$: $1 = \dfrac{k}{3} \Rightarrow k = 3$.
3. Функция: $f(x) = \dfrac{3}{x+2}$.
$f(6) = \dfrac{3}{6+2} = 0{,}375$
Ответ: 0,375
Задача 1.2

На рисунке изображен график функции $f(x)=b+k\sqrt{x}$. Найдите значение $x$, при котором $f(x)=0$.

Показать решение
1. Точка $A(0, -3) \Rightarrow b = -3$.
2. Точка $B(4, -2) \Rightarrow -3 + 2k = -2 \Rightarrow k = 0{,}5$.
3. $-3 + 0{,}5\sqrt{x} = 0 \Rightarrow \sqrt{x} = 6 \Rightarrow x = 36$.
Ответ: 36
Задача 1.3

На рисунке изображен график функции $f(x)=kx+b$. Найдите $f(11)$.

Показать решение
1. Из точки $A(0,3) \Rightarrow b = 3$.
2. Из точки $B(1,-4) \Rightarrow k = -7$.
$f(11) = -7 \cdot 11 + 3 = -74$
Ответ: −74
Задача 1.4

На рисунке изображен график функции $f(x)=k\sqrt{x+b}$. Найдите значение $x$, при котором $f(x)=-6$.

Показать решение
1. Из $A(-3,0) \Rightarrow b = 3$.
2. Из $B(1,-2) \Rightarrow k = -1$.
$-\sqrt{x+3} = -6 \Rightarrow x + 3 = 36 \Rightarrow x = 33$
Ответ: 33
Задача 1.5

На рисунке изображён график функции $f(x)=\dfrac{kx+a}{x+b}$. Найдите значение $f(10)$.

Показать решение
1. Горизонтальная асимптота $y = -2 \Rightarrow k = -2$.
2. Вертикальная асимптота $x = 2 \Rightarrow b = -2$.
3. Функция имеет вид $f(x)=\dfrac{-2x+a}{x-2}$. По точке пересечения с осью $Oy$ — $(0; -1)$: $f(0)=\dfrac{a}{-2}=-1 \Rightarrow a=2$.
4. Итоговая функция: $f(x)=\dfrac{-2x+2}{x-2}$.
$f(10) = \dfrac{-2\cdot 10 + 2}{10 - 2} = \dfrac{-18}{8} = -2{,}25$
Ответ: -2,25
Задача 1.6

На рисунке изображены графики функций \(f(x) = kx + b\) и \(g(x) = k\sqrt{x}\), которые пересекаются в точке \(A\). Найдите абсциссу точки \(A\).

Показать решение
1. Прямая \(f(x)\) проходит через точки \((0; 4)\) и \((4; 0)\). Значит, \(b = 4\), \(k = \frac{0-4}{4-0} = -1\). Уравнение прямой: \(f(x) = -x + 4\).
2. По условию график корня имеет тот же коэффициент \(k\), то есть \(k = -\sqrt{3}\). Уравнение: \(g(x) = -\sqrt{3}\sqrt{x}\).
3. Найдём точку пересечения: \(-x + 4 = -\sqrt{3}\sqrt{x}\).
4. Сделаем замену \(t = \sqrt{x}\) (\(t \ge 0\)): \(t^2 - \sqrt{3}t - 4 = 0\).
5. Дискриминант \(D = 3 + 16 = 19\). Корень \(t = \frac{\sqrt{3} + \sqrt{19}}{2}\).
6. Тогда \(x = t^2 = \frac{11 + \sqrt{57}}{2} \approx 9{,}27\).
Ответ: \(\approx 9,27\)
Задача 1.7

График функции вида $f(x) = k\sqrt{x+a}$, где числа \(k\) и \(a\) — целые, проходит через точки \(A\) и \(B\). Найдите значение \(a\).

Показать решение
1. По графику определяем координаты точек: \(A(1; 8)\) и \(B(6; 12)\).
2. Подставим точки в уравнение функции \(f(x) = k\sqrt{x+a}\):
$\begin{cases} 8 = k\sqrt{1+a} \\ 12 = k\sqrt{6+a} \end{cases}$
3. Разделим второе уравнение на первое:
$\frac{12}{8} = \frac{\sqrt{6+a}}{\sqrt{1+a}} \Rightarrow \frac{3}{2} = \sqrt{\frac{6+a}{1+a}}$
4. Возведём обе части в квадрат:
$\frac{9}{4} = \frac{6+a}{1+a}$
5. Решим уравнение:
$9(1+a) = 4(6+a) \Rightarrow 9 + 9a = 24 + 4a$
$5a = 15 \Rightarrow a = 3$
(Проверка: если \(a=3\), то \(8 = k\sqrt{4} \Rightarrow k=4\) — целое число, что соответствует условию).
Ответ: 3

БЛОК 2 | Показательные и логарифмические функции

Задача 2.1

На рисунке изображен график функции $f(x)=a^x+b$. Найдите $x$, при котором $f(x)=61$.

Показать решение
1. Горизонтальная асимптота $y = -3 \Rightarrow b = -3$.
2. Точка $A(2, 1)$: $a^2 - 3 = 1 \Rightarrow a^2 = 4 \Rightarrow a = 2$.
3. Функция: $f(x) = 2^x - 3$.
$2^x - 3 = 61 \Rightarrow 2^x = 64 \Rightarrow x = 6$
Ответ: 6
Задача 2.2

На рисунке изображен график функции $f(x)=c+\log_a x$. Найдите $f(25)$.

Показать решение
1. Точка $A(1, -2) \Rightarrow c = -2$.
2. Точка $B(5, -3) \Rightarrow -2 + \log_a 5 = -3 \Rightarrow a = 0{,}2$.
3. $f(x) = -2 + \log_{0{,}2} x$.
$f(25) = -2 + (-2) = -4$
Ответ: −4
Задача 2.3

На рисунке изображен график функции $f(x)=pa^x$. Найдите значение $x$, при котором $f(x)=-32$.

Показать решение
1. Точка $A(0, -4) \Rightarrow p = -4$.
2. Точка $B(-1, -8) \Rightarrow a = 0{,}5$.
$-4 \cdot (0{,}5)^x = -32 \Rightarrow (0{,}5)^x = 8 \Rightarrow x = -3$
Ответ: −3

БЛОК 3 | Пересечение графиков и парабола

Задача 3.1

На рисунке изображены графики двух функций вида $f(x)=kx+b$, которые пересекаются в точке $F(x_f, y_f)$. Найдите $y_f$.

Показать решение
1. Прямая 1: $A(0,4), B(-4,-2) \Rightarrow f(x) = 1{,}5x + 4$.
2. Прямая 2: $C(0,-1), D(1,2) \Rightarrow g(x) = 3x - 1$.
3. Пересечение: $1{,}5x + 4 = 3x - 1 \Rightarrow x = 10/3$.
$y_f = 3(10/3) - 1 = 9$
Ответ: 9
Задача 3.2

На рисунке изображены графики функций $f(x)=\dfrac{k}{x}$ и $g(x)=kx+b$, пересекающиеся в точках $A$ и $C$. Найдите абсциссу точки $C$.

Показать решение
1. Гипербола проходит через $A(-2;-3)$, значит $k = (-3)\cdot(-2) = 6$, то есть $f(x) = \dfrac{6}{x}$.
2. Прямая проходит через $A(-2;-3)$ и $B(3;-1)$: $k = \dfrac{-1-(-3)}{3-(-2)} = 0{,}4$, $b = -1 - 0{,}4\cdot 3 = -2{,}2$, то есть $g(x) = 0{,}4x - 2{,}2$.
3. Приравниваем: $\dfrac{6}{x} = 0{,}4x - 2{,}2 \Rightarrow 0{,}4x^2 - 2{,}2x - 6 = 0$, или $2x^2-11x-30=0$.
Корни $x_1 = -2$ и $x_C = 7{,}5$
Ответ: 7,5
Задача 3.3

На рисунке изображены графики функций $f(x)=ax^2+bx+c$ и $g(x)=2x^2+7x+2$, пересекающиеся в точках $C(0,2)$ и $F(x_0,y_0)$. Найдите $x_0$.

Показать решение
1. Для $f(x)$: точка $C(0,2) \Rightarrow c=2$. По точкам $A(-1,9)$ и $B(2,-6)$ находим $a$ и $b$: $a-b=7$, $4a+2b=-8$, откуда $a=1$, $b=-6$, то есть $f(x)=x^2-6x+2$.
2. Приравниваем: $x^2-6x+2 = 2x^2+7x+2 \Rightarrow x^2+13x=0$.
Корни: $x=0$ (точка $C$) и $x_0=-13$ (точка $F$)
Ответ: −13
Задача 3.4

На рисунке изображены графики функций $f(x)=\dfrac{k}{x}$ и $g(x)=\dfrac{c}{x}+d$. Найдите абсциссу точки пересечения функций.

Показать решение
1. Гипербола $f(x)=\dfrac{k}{x}$ проходит через точку $A(-2;-4)$, значит $k = (-4)\cdot(-2) = 8$, то есть $f(x)=\dfrac{8}{x}$.
2. Функция $g(x)=\dfrac{c}{x}+d$ проходит через точки $B(-1;-1)$ и $C(-3;1)$. Подставим их: $\begin{cases} -1 = \dfrac{c}{-1} + d \\ 1 = \dfrac{c}{-3} + d \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} -c + d = -1 \\ -\dfrac{c}{3} + d = 1 \end{cases}$.
3. Вычитая второе уравнение из первого, получаем $-\dfrac{2c}{3} = -2 \Rightarrow c = 3$, тогда $d = 2$. То есть $g(x)=\dfrac{3}{x}+2$.
4. Приравниваем: $\dfrac{8}{x}=\dfrac{3}{x}+2 \Rightarrow \dfrac{5}{x}=2$.
$x = \dfrac{5}{2} = 2{,}5$
Ответ: 2,5
Задача 3.5

На рисунке изображен график функции $f(x)=ax^2+bx+c$. Найдите $c$.

Показать решение
1. Подставим точки $A(3,-1)$, $B(4,-4)$, $C(5,-3)$ в $f(x) = ax^2 + bx + c$.
2. Решая систему, получаем $a = 2$, $b = -17$, $c = 32$.
Ответ: 32
Готово!

Проверьте себя: если какая-то задача не получилась — откройте решение, разберитесь в шагах и попробуйте решить её заново без подсказки.

Made on
Tilda