Личный кабинет

Выражения | Тест

ЕГЭ профиль · Задание 8

Введите ответ в поле и нажмите «Проверить». Если затрудняетесь — раскройте блок «Показать решение». Ответы можно вводить как с точкой, так и с запятой.

БЛОК 1 | Выражения с корнями

Задача 1.1

Найдите значение выражения: $\sqrt{51^2 - 45^2}$.

Показать решение
$\sqrt{(51-45)(51+45)} = \sqrt{6 \cdot 96} = \sqrt{576}$
$\sqrt{576} = 24$
Ответ: 24
Задача 1.2

Найдите значение выражения: $(\sqrt{54} - \sqrt{24}) \cdot \sqrt{6}$.

Показать решение
$\sqrt{54} = 3\sqrt{6},\quad \sqrt{24} = 2\sqrt{6}$
$(3\sqrt{6} - 2\sqrt{6}) \cdot \sqrt{6} = \sqrt{6} \cdot \sqrt{6} = 6$
Ответ: 6
Задача 1.3

Найдите значение выражения: $(\sqrt{73} - \sqrt{21})(\sqrt{73} + \sqrt{21})$.

Показать решение
$(a-b)(a+b) = a^2 - b^2$
$73 - 21 = 52$
Ответ: 52
Задача 1.4

Найдите значение выражения: $\dfrac{(3\sqrt{7})^2}{3}$.

Показать решение
$(3\sqrt{7})^2 = 9 \cdot 7 = 63$
$\dfrac{63}{3} = 21$
Ответ: 21
Задача 1.5

Найдите значение выражения: $\dfrac{\sqrt{11{,}2} \cdot \sqrt{2{,}7}}{\sqrt{0{,}84}}$.

Показать решение
$\dfrac{\sqrt{11{,}2 \cdot 2{,}7}}{\sqrt{0{,}84}} = \sqrt{\dfrac{30{,}24}{0{,}84}}$
$\sqrt{36} = 6$
Ответ: 6
Задача 1.6

Найдите значение выражения: $\dfrac{(\sqrt{3} + \sqrt{75})^2}{4}$.

Показать решение
$\sqrt{75} = 5\sqrt{3} \Rightarrow \sqrt{3} + 5\sqrt{3} = 6\sqrt{3}$
$\dfrac{(6\sqrt{3})^2}{4} = \dfrac{108}{4} = 27$
Ответ: 27

БЛОК 2 | Выражения, содержащие степень

Часть 1

Задача 2.1

Найдите значение выражения: $\dfrac{(6^{-5})^9 \cdot 6^{15}}{6^{-32}}$.

Показать решение
$(6^{-5})^9 \cdot 6^{15} : 6^{-32} = 6^{-45+15+32} = 6^{2}$
$6^2 = 36$
Ответ: 36
Задача 2.2

Найдите значение выражения: $8^{-4} \cdot 16^5 : 32^0$.

Показать решение
$8^{-4} = 2^{-12},\quad 16^5 = 2^{20},\quad 32^0 = 1$
$2^{-12} \cdot 2^{20} = 2^{8} = 256$
Ответ: 256
Задача 2.3

Найдите значение выражения: $0{,}005 \cdot 10^4 + 0{,}07 \cdot 10^3 - 0{,}4 \cdot 10^1$.

Показать решение
$0{,}005 \cdot 10000 = 50$
$0{,}07 \cdot 1000 = 70$
$0{,}4 \cdot 10 = 4$
$50 + 70 - 4 = 116$
Ответ: 116
Задача 2.4

Найдите значение выражения: $12 \cdot 10^{-4} + 6 \cdot 10^{-2} + 8 \cdot 10^{-1}$.

Показать решение
$12 \cdot 10^{-4} = 0{,}0012$
$6 \cdot 10^{-2} = 0{,}06$
$8 \cdot 10^{-1} = 0{,}8$
$0{,}0012 + 0{,}06 + 0{,}8 = 0{,}8612$
Ответ: 0,8612
Задача 2.5

Вычислите: $(-0{,}1)^3 - (-0{,}2)^2 + (-0{,}6)^0$.

Показать решение
$(-0{,}1)^3 = -0{,}001$
$(-0{,}2)^2 = 0{,}04$
$(-0{,}6)^0 = 1$
$-0{,}001 - 0{,}04 + 1 = 0{,}959$
Ответ: 0,959

Часть 2

Задача 2.6

Найдите значение выражения $\dfrac{b^{3{,}33}}{b^{2{,}01} \cdot b^{2{,}32}}$ при $b = \dfrac{2}{7}$.

Показать решение
$\dfrac{b^{3{,}33}}{b^{2{,}01} \cdot b^{2{,}32}} = b^{3{,}33 - 4{,}33} = b^{-1}$
$b^{-1} = \dfrac{1}{b} = \dfrac{7}{2} = 3{,}5$
Ответ: 3,5
Задача 2.7

Найдите значение выражения $a^{\frac{1}{5}} \cdot \left(a^{\frac{9}{10}}\right)^2$ при $a = 7$.

Показать решение
$a^{\frac{1}{5}} \cdot a^{\frac{18}{10}} = a^{\frac{1}{5} + \frac{9}{5}} = a^{2}$
$7^2 = 49$
Ответ: 49

БЛОК 3 | Логарифмические выражения

Часть 1

Задача 3.1

Найдите значение выражения: $\log_9 729$.

Показать решение
$729 = 9^3 \Rightarrow \log_9 729 = 3$
Ответ: 3
Задача 3.2

Найдите значение выражения: $\log_2 0{,}125$.

Показать решение
$0{,}125 = \dfrac{1}{8} = 2^{-3} \Rightarrow \log_2 2^{-3} = -3$
Ответ: −3
Задача 3.3

Найдите значение выражения: $\log_{32} 1$.

Показать решение
$\log_a 1 = 0$ для любого $a > 0$, $a \neq 1$
Ответ: 0
Задача 3.4

Найдите значение выражения: $\log_9 \sqrt{3}$.

Показать решение
$\sqrt{3} = 3^{1/2} = 9^{1/4}$
$\log_9 9^{1/4} = \dfrac{1}{4} = 0{,}25$
Ответ: 0,25
Задача 3.5

Найдите значение выражения: $\log_9 (\log_8 512)$.

Показать решение
$512 = 8^3 \Rightarrow \log_8 512 = 3$
$\log_9 3 = \dfrac{1}{2} = 0{,}5$
Ответ: 0,5

Часть 2

Задача 3.6

Найдите значение выражения: $\log_6 108 + \log_6 2$.

Показать решение
$\log_6 (108 \cdot 2) = \log_6 216 = \log_6 6^3 = 3$
Ответ: 3
Задача 3.7

Найдите значение выражения: $\log_4 768 - \log_4 3$.

Показать решение
$\log_4 \dfrac{768}{3} = \log_4 256 = \log_4 4^4 = 4$
Ответ: 4
Задача 3.8

Найдите значение выражения: $\dfrac{\log_8 12^7}{14 \log_8 12}$.

Показать решение
$\dfrac{7 \log_8 12}{14 \log_8 12} = \dfrac{7}{14} = \dfrac{1}{2} = 0{,}5$
Ответ: 0,5
Задача 3.9

Найдите значение выражения: $32^{\log_2 3}$.

Показать решение
$32 = 2^5 \Rightarrow (2^5)^{\log_2 3} = 2^{5 \log_2 3} = 3^5$
$3^5 = 243$
Ответ: 243
Задача 3.10

Найдите значение выражения: $12 \cdot \log_{16} 7 \cdot \log_7 32$.

Показать решение
$\log_{16} 7 = \dfrac{\log_2 7}{4},\quad \log_7 32 = \dfrac{5}{\log_2 7}$
$12 \cdot \dfrac{\log_2 7}{4} \cdot \dfrac{5}{\log_2 7} = 12 \cdot \dfrac{5}{4} = 15$
Ответ: 15

БЛОК 4 | Тригонометрические выражения

Часть 1. Нахождение значений функций

Задача 4.1

Найти $\cos\alpha$, если $\sin\alpha = \dfrac{\sqrt{3}}{2}$ и $\alpha \in \left(\dfrac{\pi}{2}; \pi\right)$.

Показать решение
Во II четверти $\cos\alpha < 0$
$\cos\alpha = -\sqrt{1 - \dfrac{3}{4}} = -\dfrac{1}{2} = -0{,}5$
Ответ: −0,5
Задача 4.2

Найти $\sin\alpha$, если $\cos\alpha = -\dfrac{\sqrt{3}}{2}$ и $\alpha \in \left(\dfrac{\pi}{2}; \pi\right)$.

Показать решение
Во II четверти $\sin\alpha > 0$
$\sin\alpha = \sqrt{1 - \dfrac{3}{4}} = \dfrac{1}{2} = 0{,}5$
Ответ: 0,5
Задача 4.3

Найти $\operatorname{tg}\alpha$, если $\cos\alpha = -\dfrac{1}{\sqrt{37}}$ и $\alpha \in \left(\pi; \dfrac{3\pi}{2}\right)$.

Показать решение
В III четверти $\sin\alpha < 0$
$\sin\alpha = -\sqrt{1 - \dfrac{1}{37}} = -\dfrac{6}{\sqrt{37}}$
$\operatorname{tg}\alpha = \dfrac{\sin\alpha}{\cos\alpha} = 6$
Ответ: 6
Задача 4.4

Найти $\cos 2\alpha$, если $\operatorname{ctg}\alpha = 2$.

Показать решение
$\cos 2\alpha = \dfrac{\operatorname{ctg}^2\alpha - 1}{\operatorname{ctg}^2\alpha + 1} = \dfrac{4 - 1}{4 + 1}$
$\dfrac{3}{5} = 0{,}6$
Ответ: 0,6
Задача 4.5

Найти $\sin 2\alpha$, если $\operatorname{tg}\alpha = 7$.

Показать решение
$\sin 2\alpha = \dfrac{2\operatorname{tg}\alpha}{1 + \operatorname{tg}^2\alpha} = \dfrac{14}{1 + 49}$
$\dfrac{14}{50} = 0{,}28$
Ответ: 0,28
Задача 4.6

Найти $5\cos 2\alpha$, если $\cos\alpha = -0{,}8$.

Показать решение
$\cos 2\alpha = 2\cos^2\alpha - 1 = 2 \cdot 0{,}64 - 1 = 0{,}28$
$5 \cdot 0{,}28 = 1{,}4$
Ответ: 1,4
Задача 4.7

Найти $16\cos(-660^\circ)$.

Показать решение
$\cos(-660^\circ) = \cos(660^\circ) = \cos(660^\circ - 720^\circ)$
$\cos(-60^\circ) = \cos 60^\circ = \dfrac{1}{2}$
$16 \cdot \dfrac{1}{2} = 8$
Ответ: 8
Задача 4.8

Найти $6\sqrt{3} \operatorname{tg}(-1050^\circ)$.

Показать решение
$-1050^\circ + 1080^\circ = 30^\circ$
$\operatorname{tg}(-1050^\circ) = \operatorname{tg} 30^\circ = \dfrac{1}{\sqrt{3}}$
$6\sqrt{3} \cdot \dfrac{1}{\sqrt{3}} = 6$
Ответ: 6

Часть 2. Формулы приведения

Задача 4.9

Найдите значение выражения: $6\cos 225^\circ \cdot \sin 405^\circ$.

Показать решение
$\cos 225^\circ = -\dfrac{\sqrt{2}}{2},\quad \sin 405^\circ = \sin 45^\circ = \dfrac{\sqrt{2}}{2}$
$6 \cdot \left(-\dfrac{\sqrt{2}}{2}\right) \cdot \dfrac{\sqrt{2}}{2} = 6 \cdot \left(-\dfrac{1}{2}\right) = -3$
Ответ: −3
Задача 4.10

Найдите значение выражения: $\sqrt{6} \cdot \operatorname{tg}\dfrac{7\pi}{6} \cdot \cos\dfrac{5\pi}{4}$.

Показать решение
$\operatorname{tg}\dfrac{7\pi}{6} = \operatorname{tg}\dfrac{\pi}{6} = \dfrac{1}{\sqrt{3}}$
$\cos\dfrac{5\pi}{4} = -\dfrac{\sqrt{2}}{2}$
$\sqrt{6} \cdot \dfrac{1}{\sqrt{3}} \cdot \left(-\dfrac{\sqrt{2}}{2}\right) = \sqrt{2} \cdot \left(-\dfrac{\sqrt{2}}{2}\right) = -1$
Ответ: −1
Задача 4.11

Найдите значение выражения: $\dfrac{15\cos 193^\circ}{\cos 733^\circ}$.

Показать решение
$\cos 193^\circ = -\cos 13^\circ$
$\cos 733^\circ = \cos(733^\circ - 720^\circ) = \cos 13^\circ$
$\dfrac{15 \cdot (-\cos 13^\circ)}{\cos 13^\circ} = -15$
Ответ: −15
Задача 4.12

Найдите значение выражения: $\dfrac{12\sin(-547^\circ)}{\sin 727^\circ}$.

Показать решение
$\sin(-547^\circ) = -\sin 547^\circ = -\sin(547^\circ - 360^\circ) = -\sin 187^\circ = \sin 7^\circ$
$\sin 727^\circ = \sin(727^\circ - 720^\circ) = \sin 7^\circ$
$\dfrac{12 \cdot \sin 7^\circ}{\sin 7^\circ} = 12$
Ответ: 12

Часть 3. Преобразования выражений

Задача 4.13

Найдите значение выражения: $6\sin\dfrac{25\pi}{12} \cdot \cos\dfrac{35\pi}{12}$.

Показать решение
$6 \cdot \dfrac{1}{2}\left[\sin 5\pi + \sin\left(-\dfrac{5\pi}{6}\right)\right]$
$3\left[0 - \dfrac{1}{2}\right] = -1{,}5$
Ответ: −1,5
Задача 4.14

Найдите значение выражения: $\dfrac{6\sin 206^\circ \cdot \cos 154^\circ}{\sin 52^\circ}$.

Показать решение
$\sin 206^\circ = -\sin 26^\circ,\quad \cos 154^\circ = -\cos 26^\circ$
$\dfrac{6\sin 26^\circ \cos 26^\circ}{\sin 52^\circ} = \dfrac{3\sin 52^\circ}{\sin 52^\circ} = 3$
Ответ: 3
Задача 4.15

Найдите значение выражения: $11(\cos^2 189^\circ + \sin^2 171^\circ)$.

Показать решение
$\cos 189^\circ = -\cos 9^\circ,\quad \sin 171^\circ = \sin 9^\circ$
$11(\cos^2 9^\circ + \sin^2 9^\circ) = 11$
Ответ: 11
Задача 4.16

Найдите значение выражения: $\dfrac{10(\sin^2 203^\circ - \cos^2 157^\circ)}{\cos 46^\circ}$.

Показать решение
$\sin 203^\circ = -\sin 23^\circ,\quad \cos 157^\circ = -\cos 23^\circ$
$\dfrac{10(\sin^2 23^\circ - \cos^2 23^\circ)}{\cos 46^\circ} = \dfrac{-10\cos 46^\circ}{\cos 46^\circ} = -10$
Ответ: −10
Задача 4.17

Найдите значение выражения: $\dfrac{10\sin 272^\circ}{\sin 136^\circ \cdot \cos(-404^\circ)}$.

Показать решение
$\sin 272^\circ = -\cos 2^\circ,\quad \cos(-404^\circ) = \cos 44^\circ$
$\sin 136^\circ = \sin 44^\circ$
$\dfrac{-10\cos 2^\circ}{\sin 44^\circ \cos 44^\circ} = \dfrac{-10\cos 2^\circ}{\frac{1}{2}\sin 88^\circ}$
$\dfrac{-20\cos 2^\circ}{\cos 2^\circ} = -20$
Ответ: −20
Готово!

Проверьте себя: если какое-то выражение не получилось — откройте решение, разберитесь в шагах и попробуйте вычислить его заново без подсказки.

Made on
Tilda