Личный кабинет

Уравнения | Тест

ЕГЭ профиль · Задание 7

Введите ответ в поле и нажмите «Проверить». Если затрудняетесь — раскройте блок «Показать решение». Ответы можно вводить как с точкой, так и с запятой.

БЛОК 1 | Линейные и квадратные уравнения

Задание 1. Решите уравнения

Задача 1.1

Решите уравнение: $2(6 - 2x) - 4 = 18 - 3(1 + 3x)$.

Показать решение
$12 - 4x - 4 = 18 - 3 - 9x$
$8 - 4x = 15 - 9x \Rightarrow 5x = 7$
$x = 1{,}4$
Ответ: 1,4
Задача 1.2

Решите уравнение: $\dfrac{2x}{17} = 3\dfrac{3}{17}$.

Показать решение
$3\dfrac{3}{17} = \dfrac{54}{17} \Rightarrow \dfrac{2x}{17} = \dfrac{54}{17}$
$2x = 54 \Rightarrow x = 27$
Ответ: 27
Задача 1.3

Решите уравнение: $\dfrac{1}{4} - \dfrac{5x-1}{8} = \dfrac{5-x}{6}$.

Показать решение
Умножим обе части на 24:
$6 - 3(5x-1) = 4(5-x)$
$9 - 15x = 20 - 4x \Rightarrow -11 = 11x$
$x = -1$
Ответ: −1
Задача 1.4

Решите уравнение: $(7 - x)^2 = (x + 3)^2$.

Показать решение
$49 - 14x + x^2 = x^2 + 6x + 9$
$40 = 20x \Rightarrow x = 2$
Ответ: 2

Задание 2. Иррациональное уравнение

Задача 1.5

Найдите корень уравнения: $\sqrt{2x} + \sqrt{3} = \sqrt{27}$.

Показать решение
$\sqrt{27} = 3\sqrt{3} \Rightarrow \sqrt{2x} = 3\sqrt{3} - \sqrt{3} = 2\sqrt{3}$
$2x = 12 \Rightarrow x = 6$
Ответ: 6

Задание 3. Решите уравнения

Задача 1.6

Решите уравнение: $(8x - 2)(10x + 15) = 0$. Если уравнение имеет более одного корня, в ответе укажите больший из них.

Показать решение
$8x - 2 = 0 \Rightarrow x_1 = 0{,}25$
$10x + 15 = 0 \Rightarrow x_2 = -1{,}5$
Больший корень: $0{,}25$.
Ответ: 0,25
Задача 1.7

Решите уравнение: $13x + 3x^2 - 10 = 0$. Если уравнение имеет более одного корня, в ответе укажите меньший из них.

Показать решение
$3x^2 + 13x - 10 = 0$
$D = 169 + 120 = 289 = 17^2$
$x_1 = \dfrac{2}{3},\quad x_2 = -5$
Меньший корень: $-5$.
Ответ: −5
Задача 1.8

Решите уравнение: $(4x - 5)^2 = 14x^2 - 47x + 34$. Если уравнение имеет более одного корня, в ответе укажите произведение корней.

Показать решение
$16x^2 - 40x + 25 = 14x^2 - 47x + 34$
$2x^2 + 7x - 9 = 0$
$x_1 = 1,\quad x_2 = -4{,}5$
Произведение корней: $1 \cdot (-4{,}5) = -4{,}5$.
Ответ: −4,5
Задача 1.9

Решите уравнение: $\dfrac{x-8}{9x-2} = \dfrac{x-8}{8x-7}$. Если уравнение имеет более одного корня, в ответе укажите больший из них.

Показать решение
$(x-8)(8x-7) = (x-8)(9x-2)$
$(x-8)(-x-5) = 0$
$x_1 = 8,\quad x_2 = -5$
Больший корень: $8$.
Ответ: 8
Задача 1.10

Решите уравнение: $x^4 + 2x^2 - 24 = 0$. Если уравнение имеет более одного корня, в ответе укажите меньший из них.

Показать решение
Замена $t = x^2$, $t \geqslant 0$:
$t^2 + 2t - 24 = 0 \Rightarrow t_1 = 4,\ t_2 = -6$
$x^2 = 4 \Rightarrow x = \pm 2$
Меньший корень: $-2$.
Ответ: −2

БЛОК 2 | Иррациональные уравнения

Задание 1. Найдите корень уравнения

Задача 2.1

Найдите корень уравнения: $\sqrt{x - 12} = 3$.

Показать решение
$x - 12 = 9 \Rightarrow x = 21$
Ответ: 21
Задача 2.2

Найдите корень уравнения: $\sqrt{2x + 33} = 5$.

Показать решение
$2x + 33 = 25 \Rightarrow 2x = -8$
$x = -4$
Ответ: −4
Задача 2.3

Найдите корень уравнения: $\sqrt{27 - x} = 6$.

Показать решение
$27 - x = 36 \Rightarrow x = -9$
Ответ: −9
Задача 2.4

Найдите корень уравнения: $\sqrt{-41 - 15x} = 2$.

Показать решение
$-41 - 15x = 4 \Rightarrow -15x = 45$
$x = -3$
Ответ: −3

Задание 2. Найдите корень уравнения

Задача 2.5

Найдите корень уравнения: $\sqrt{2x + 35} = x$. Если уравнение имеет больше одного корня, в ответе запишите меньший из них.

Показать решение
$2x + 35 = x^2 \Rightarrow x^2 - 2x - 35 = 0$
$x_1 = 7,\quad x_2 = -5$
Условие $x \geqslant 0$ оставляет только $x = 7$.
Ответ: 7
Задача 2.6

Найдите корень уравнения: $\sqrt{27 - 6x} = -x$. Если уравнение имеет больше одного корня, в ответе запишите больший из них.

Показать решение
$27 - 6x = x^2 \Rightarrow x^2 + 6x - 27 = 0$
$x_1 = 3,\quad x_2 = -9$
Условие $-x \geqslant 0 \Rightarrow x \leqslant 0$ оставляет только $x = -9$.
Ответ: −9

Задание 3. Найдите корень уравнения

Задача 2.7

Найдите корень уравнения: $\sqrt{\dfrac{10}{7x - 8}} = \dfrac{1}{3}$.

Показать решение
$\dfrac{10}{7x - 8} = \dfrac{1}{9} \Rightarrow 7x - 8 = 90$
$7x = 98 \Rightarrow x = 14$
Ответ: 14
Задача 2.8

Найдите корень уравнения: $\sqrt{\dfrac{3}{298 - 5x}} = \dfrac{1}{11}$.

Показать решение
$\dfrac{3}{298 - 5x} = \dfrac{1}{121} \Rightarrow 298 - 5x = 363$
$-5x = 65 \Rightarrow x = -13$
Ответ: −13

БЛОК 3 | Показательные уравнения

Задание 1. Решите уравнения

Задача 3.1

Решите уравнение: $6^{-5+x} = 216$.

Показать решение
$216 = 6^3 \Rightarrow -5 + x = 3$
$x = 8$
Ответ: 8
Задача 3.2

Решите уравнение: $7^{12{,}5x+12} = \dfrac{1}{343}$.

Показать решение
$\dfrac{1}{343} = 7^{-3} \Rightarrow 12{,}5x + 12 = -3$
$12{,}5x = -15 \Rightarrow x = -1{,}2$
Ответ: −1,2
Задача 3.3

Решите уравнение: $\left(\dfrac{1}{3}\right)^{10-3x} = 243$.

Показать решение
$243 = 3^5,\quad \left(\dfrac{1}{3}\right)^{10-3x} = 3^{-(10-3x)}$
$-(10-3x) = 5 \Rightarrow -10 + 3x = 5$
$3x = 15 \Rightarrow x = 5$
Ответ: 5

Задание 2. Решите уравнения

Задача 3.4

Решите уравнение: $3^{5-x} = 9^{1+x}$.

Показать решение
$9^{1+x} = 3^{2+2x} \Rightarrow 5 - x = 2 + 2x$
$3 = 3x \Rightarrow x = 1$
Ответ: 1
Задача 3.5

Решите уравнение: $3^{2x+4} = 6 \cdot 4^{1+x}$.

Показать решение
$3^{2x+4} = 6 \cdot 4 \cdot 4^x = 24 \cdot 4^x$
$\dfrac{3^{2x+4}}{4^x} = 24 \Rightarrow 81 \cdot \left(\dfrac{9}{4}\right)^x = 24$
$\left(\dfrac{9}{4}\right)^x = \dfrac{8}{27} = \left(\dfrac{2}{3}\right)^3 = \left(\dfrac{9}{4}\right)^{-1{,}5}$
$x = -1{,}5$
Ответ: −1,5
Задача 3.6

Решите уравнение: $\left(\dfrac{1}{5}\right)^{8-x} = 625^{3-x}$.

Показать решение
$5^{-(8-x)} = 5^{4(3-x)} \Rightarrow -(8-x) = 12-4x$
$-8 + x = 12 - 4x \Rightarrow 5x = 20$
$x = 4$
Ответ: 4
Задача 3.7

Решите уравнение: $324 \cdot \left(\dfrac{1}{4}\right)^{5x-1} = 3^{10x}$.

Показать решение
$324 = 4 \cdot 81 = 4 \cdot 3^4$
$4 \cdot 3^4 \cdot 4^{-(5x-1)} = 3^{10x} \Rightarrow 4^{2-5x} \cdot 3^4 = 3^{10x}$
$4^{2-5x} = 3^{10x-4}$
Показатели обращаются в ноль одновременно при $2-5x=0$, т.е. $x=0{,}4$: обе части равны 1.
Ответ: 0,4

БЛОК 4 | Логарифмические уравнения

Задание 2. Решите уравнения

Задача 4.1

Решите уравнение: $\log_6(13 - x) = 1$.

Показать решение
$13 - x = 6 \Rightarrow x = 7$
Ответ: 7
Задача 4.2

Решите уравнение: $\log_{11}(37 - 2x) = 2$.

Показать решение
$37 - 2x = 121 \Rightarrow -2x = 84$
$x = -42$
Ответ: −42

Задание 3. Решите уравнения

Задача 4.3

Решите уравнение: $\log_6(35 - x) = \log_6(2x + 5)$.

Показать решение
$35 - x = 2x + 5 \Rightarrow 3x = 30$
$x = 10$
Проверка ОДЗ: $35 - 10 > 0$, $2 \cdot 10 + 5 > 0$ — выполнено.
Ответ: 10
Задача 4.4

Решите уравнение: $\log_2(23 + x) = 2 + \log_2(x + 11)$.

Показать решение
$2 = \log_2 4$, поэтому $\log_2(23+x) = \log_2 4(x+11)$
$23 + x = 4x + 44 \Rightarrow -21 = 3x$
$x = -7$
Проверка ОДЗ: $23 - 7 > 0$, $-7 + 11 > 0$ — выполнено.
Ответ: −7

Задание 4. Решите уравнения

Задача 4.5

Решите уравнение: $7^{\log_7(2x - 3)} = 5$.

Показать решение
По основному логарифмическому тождеству $a^{\log_a b} = b$:
$2x - 3 = 5 \Rightarrow 2x = 8$
$x = 4$
Ответ: 4
Задача 4.6

Решите уравнение: $6^{\log_{36}(51 + x)} = 7$.

Показать решение
$6^{\frac{1}{2}\log_6(51+x)} = \sqrt{51 + x} = 7$
$51 + x = 49 \Rightarrow x = -2$
Ответ: −2

Задание 5. Решите уравнения по условиям

Задача 4.7

Решите уравнение: $\log_2(x^2 + x - 2) = \log_2(2x)$. Если уравнение имеет более одного корня, в ответе укажите меньший из них.

Показать решение
$x^2 + x - 2 = 2x \Rightarrow x^2 - x - 2 = 0$
$x_1 = 2,\quad x_2 = -1$
ОДЗ: $2x > 0 \Rightarrow x > 0$. Подходит только $x = 2$.
Ответ: 2
Задача 4.8

Решите уравнение: $\log_{2x-3} 4 = 2$. Если уравнение имеет более одного корня, в ответе укажите меньший из них.

Показать решение
$(2x - 3)^2 = 4$
$2x - 3 = 2$ или $2x - 3 = -2$
$x = 2{,}5$ или $x = 0{,}5$
Основание: $2x - 3 > 0$ и $2x - 3 \neq 1$, значит $x > 1{,}5$ и $x \neq 2$. Подходит только $x = 2{,}5$.
Ответ: 2,5
Задача 4.9

Решите уравнение: $\log_{x+5} 16 = 2\log_{(x+5)^2} x^2$.

Показать решение
$2\log_{(x+5)^2} x^2 = \log_{x+5} x^2$
$\log_{x+5} 16 = \log_{x+5} x^2 \Rightarrow x^2 = 16$
$x = 4$ или $x = -4$
Основание: $x + 5 > 0$, $x + 5 \neq 1$, $(x+5)^2 \neq 1$. Значит $x > -5$, $x \neq -4$, $x \neq -6$. Подходит только $x = 4$.
Ответ: 4
Задача 4.10

Решите уравнение: $\log_{25}(5^{x+3}) = -2$.

Показать решение
$5^{x+3} = 25^{-2} = 5^{-4}$
$x + 3 = -4 \Rightarrow x = -7$
Ответ: −7
Готово!

Проверьте себя: если какое-то уравнение не получилось — откройте решение, разберитесь в шагах и попробуйте решить его заново без подсказки.

Made on
Tilda