Личный кабинет

Стереометрия | Тест

ЕГЭ профиль · Задание 3

Введите ответ в поле и нажмите «Проверить». Если затрудняетесь — раскройте блок «Показать решение». Ответы можно вводить как с точкой, так и с запятой.

БЛОК 1 | Задачи на многогранники

Задача 1.1

Найдите диагональ куба, если его ребро равно $10\sqrt{3}$.

Показать решение
$d = a\sqrt{3} = 10\sqrt{3}\cdot\sqrt{3} = 30$
Ответ: 30
Задача 1.2

В правильной четырёхугольной пирамиде боковое ребро равно $13\sqrt{2}$, а сторона основания равна $2\sqrt{71}$. Найдите высоту пирамиды.

Показать решение
Диагональ основания $d = a\sqrt{2} = 2\sqrt{71}\cdot\sqrt{2} = 2\sqrt{142}$, половина диагонали $= \sqrt{142}$.
$h = \sqrt{(13\sqrt{2})^2 - 142} = \sqrt{338 - 142} = \sqrt{196} = 14$
Ответ: 14
Задача 1.3

В правильной четырёхугольной пирамиде $SABCD$ точка $O$ — центр основания, $S$ — вершина, $SB = 5$, $BD = 8$. Найдите высоту пирамиды $SO$.

Показать решение
$BD = 8 \Rightarrow BO = 4$
$SO = \sqrt{SB^2 - BO^2} = \sqrt{25 - 16} = 3$
Ответ: 3
Задача 1.4

В кубе $ABCDA_1B_1C_1D_1$ точки $E$, $F$ — середины рёбер соответственно $A_1B_1$ и $B_1C_1$. Найдите косинус угла между прямыми $AE$ и $BF$.

Показать решение
$\cos\angle(AE, BF) = 0{,}8$
Ответ: 0,8
Задача 1.5

Дан прямоугольный параллелепипед $ABCDA_1B_1C_1D_1$. Его диагональ $B_1D_1$ составляет с ребром $AD$ угол $45°$, а с ребром $DC$ угол $60°$. Найдите угол между прямыми $B_1D_1$ и $DD_1$. Ответ дайте в градусах.

Показать решение
Пусть $B_1D_1 = x$. Тогда проекции на $AD$ и $DC$ дают $\cos 45°$ и $\cos 60°$. Находим, что угол с $DD_1$ равен $60°$.
Ответ: 60
Задача 1.6

В правильной шестиугольной призме $ABCDEFA_1B_1C_1D_1E_1F_1$, все рёбра которой равны 1, найдите косинус угла между прямыми $AB_1$ и $BC_1$.

Показать решение
$\cos\angle(AB_1, BC_1) = 0{,}75$
Ответ: 0,75
Задача 1.7

Площадь боковой поверхности треугольной призмы равна 46. Через среднюю линию основания призмы проведена плоскость, параллельная боковому ребру. Найдите площадь боковой поверхности отсечённой треугольной призмы.

Показать решение
Средняя линия отсекает треугольник, стороны которого в 2 раза меньше. Площадь боковой поверхности отсечённой призмы равна половине исходной.
$S_{отсеч} = \dfrac{1}{2}\cdot 46 = 23$
Ответ: 23
Задача 1.8

Вода в сосуде, имеющем форму правильной четырёхугольной призмы, находится на уровне $h = 11$ см. На каком уровне окажется вода, если её перелить в другой сосуд, имеющий форму правильной четырёхугольной призмы, у которого сторона основания втрое меньше, чем у данного? Ответ дайте в сантиметрах.

h
Показать решение
$S_1 h_1 = S_2 h_2,\quad S_1 = a^2,\ S_2 = \dfrac{a^2}{9}$
$h_2 = 9h_1 = 99$
Ответ: 99
Задача 1.9

В бак, имеющий форму правильной четырёхугольной призмы со стороной основания, равной 15 см, налита жидкость. Чтобы измерить объём детали сложной формы, её полностью погружают в эту жидкость. Найдите объём детали, если после её погружения уровень жидкости в баке поднялся на 24 см. Ответ дайте в кубических сантиметрах.

Показать решение
$V = S_{осн}\cdot \Delta h = 15^2\cdot 24 = 5400$
Ответ: 5400
Задача 1.10

Найдите объём многогранника, вершинами которого являются вершины $A, B, C, A_1$ правильной треугольной призмы $ABCA_1B_1C_1$, площадь основания которой равна 3, а боковое ребро равно 8.

A B C A₁ B₁ C₁
Показать решение
Многогранник $ABCA_1$ — треугольная пирамида с основанием $ABC$ и вершиной $A_1$.
$V = \dfrac{1}{3}\cdot S_{осн}\cdot AA_1 = \dfrac{1}{3}\cdot 3\cdot 8 = 8$
Ответ: 8
Задача 1.11

Через среднюю линию основания треугольной призмы проведена плоскость, параллельная боковому ребру. Найдите объём этой призмы, если объём отсечённой треугольной призмы равен 8.

Показать решение
Отсечённая призма подобна исходной с коэффициентом $\dfrac{1}{2}$, её объём $\dfrac{1}{4}$ от исходного.
$V = 4\cdot 8 = 32$
Ответ: 32
Задача 1.12

Найдите объём многогранника, вершинами которого являются точки $B, C, D, B_1, C_1, D_1$ правильной шестиугольной призмы $ABCDEFA_1B_1C_1D_1E_1F_1$, площадь основания которой равна 24, а боковое ребро равно 12.

A B C D E F A₁ B₁ C₁ D₁ E₁ F₁
Показать решение
Основание — трапеция $BCD$ (треть площади основания шестиугольника).
$S_{BCD} = \dfrac{1}{3}\cdot 24 = 8$
$V = 8 \cdot 6 = 48$
Ответ: 48
Задача 1.13

В прямоугольном параллелепипеде $ABCDA_1B_1C_1D_1$ известно, что $AB = 8$, $BC = 7$, $AA_1 = 6$. Найдите объём многогранника, вершинами которого являются точки $A, B, C, A_1, B_1, C_1$.

A B C D A₁ B₁ C₁ D₁
Показать решение
Многогранник $ABCA_1B_1C_1$ — треугольная призма с основанием $ABC$ (прямоугольный треугольник с катетами 8 и 7) и боковым ребром 6.
$V = \dfrac{1}{2}\cdot 8\cdot 7\cdot 6 = 168$
Ответ: 168
Задача 1.14

В прямоугольном параллелепипеде $ABCDA_1B_1C_1D_1$ известно, что $AB = 6$, $BC = 5$, $AA_1 = 4$. Найдите объём многогранника, вершинами которого являются точки $A, B, C, B_1$.

A B C D A₁ B₁ C₁ D₁
Показать решение
Многогранник $ABCB_1$ — пирамида с основанием $ABC$ (прямоугольный треугольник с катетами 6 и 5) и высотой $BB_1 = 4$.
$V = \dfrac{1}{3}\cdot\dfrac{1}{2}\cdot 6\cdot 5\cdot 4 = 20$
Ответ: 20
Задача 1.15

В прямоугольном параллелепипеде $ABCDA_1B_1C_1D_1$ известно, что $CD = 3$, $BC = 9$, $CC_1 = 4$. Найдите объём многогранника, вершинами которого являются точки $A, B, C, D, C_1$.

A B C D A₁ B₁ C₁ D₁
Показать решение
Многогранник — пирамида с основанием $ABCD$ (прямоугольник $9\times 3$) и вершиной $C_1$, высота $CC_1 = 4$.
$V = \dfrac{1}{3}\cdot 27\cdot 4 = 36$
Ответ: 36
Задача 1.16

Найдите объём многогранника, вершинами которого являются вершины $A, B, C, B_1$ правильной треугольной призмы $ABCA_1B_1C_1$, площадь основания которой равна 6, а боковое ребро равно 9.

A B C A₁ B₁ C₁
Показать решение
Пирамида $ABCB_1$ с основанием $ABC$ и высотой $BB_1 = 9$.
$V = \dfrac{1}{3}\cdot 6\cdot 9 = 18$
Ответ: 18
Задача 1.17

Объём куба равен 80. Найдите объём треугольной призмы, отсекаемой от куба плоскостью, проходящей через середины двух рёбер, выходящих из одной вершины, и параллельной третьему ребру, выходящему из этой же вершины.

A B C D A₁ B₁ C₁ D₁
Показать решение
Отсечённая призма составляет $\dfrac{1}{8}$ часть куба.
$V = \dfrac{80}{8} = 10$
Ответ: 10
Задача 1.18

Через среднюю линию основания правильной треугольной призмы, объём которой равен 84, проведена плоскость, параллельная боковому ребру. Найдите объём отсечённой треугольной призмы.

Показать решение
Отсечённая призма подобна исходной с коэффициентом $\dfrac{1}{2}$, её объём $\dfrac{1}{4}$ от исходного.
$V = \dfrac{84}{4} = 21$
Ответ: 21
Задача 1.19

Через среднюю линию основания треугольной призмы проведена плоскость, параллельная боковому ребру. Площадь боковой поверхности отсечённой треугольной призмы равна 36. Найдите площадь боковой поверхности исходной призмы.

Показать решение
Средняя линия уменьшает стороны основания в 2 раза, значит боковая поверхность отсечённой призмы в 2 раза меньше исходной.
$S_{исх} = 2\cdot 36 = 72$
Ответ: 72

БЛОК 2 | Задачи на тела вращения

Задача 2.1

Радиус основания цилиндра равен 17, а его образующая равна 5. Сечение, параллельное оси цилиндра, удалено от неё на расстояние, равное 15. Найдите площадь этого сечения.

Показать решение
$d = 15,\ R = 17 \Rightarrow \dfrac{a}{2} = \sqrt{17^2 - 15^2} = 8$
$a = 16$
$S = a\cdot h = 16\cdot 5 = 80$
Ответ: 80
Задача 2.2

Даны два цилиндра. Радиус основания и высота первого цилиндра равны соответственно 12 и 8, а второго — 16 и 18. Во сколько раз площадь боковой поверхности второго цилиндра больше площади боковой поверхности первого?

Показать решение
$\dfrac{S_2}{S_1} = \dfrac{2\pi R_2 h_2}{2\pi R_1 h_1} = \dfrac{16\cdot 18}{12\cdot 8} = 3$
Ответ: 3
Задача 2.3

Вода в сосуде цилиндрической формы находится на уровне $h = 35$ см. На каком уровне окажется вода, если её перелить в другой цилиндрический сосуд, у которого радиус основания в два раза меньше, чем у данного? Ответ дайте в сантиметрах.

h
Показать решение
$\pi R^2 h = \pi (R/2)^2 h_2$
$h_2 = 4h = 140$
Ответ: 140
Задача 2.4

Имеется две кастрюли цилиндрической формы. Первая кастрюля в три раза ниже второй, а вторая в полтора раза шире первой. Во сколько раз объём второй кастрюли больше объёма первой?

Показать решение
Пусть $h_1 = h$, $R_1 = R$. Тогда $h_2 = 3h$, $R_2 = 1{,}5R$.
$\dfrac{V_2}{V_1} = \dfrac{R_2^2 h_2}{R_1^2 h_1} = 1{,}5^2\cdot 3 = 6{,}75$
Ответ: 6,75
Задача 2.5

Даны два конуса. Радиус основания и высота первого конуса равны соответственно 10 и 12, а второго — 4 и 6. Во сколько раз объём первого конуса больше объёма второго?

Показать решение
$\dfrac{V_1}{V_2} = \dfrac{R_1^2 h_1}{R_2^2 h_2} = \dfrac{100\cdot 12}{16\cdot 6} = 12{,}5$
Ответ: 12,5
Задача 2.6

Объём конуса равен 128. Через точку, делящую высоту конуса в отношении $3:1$, считая от вершины, проведена плоскость, параллельная основанию. Найдите объём конуса, отсекаемого от данного конуса проведённой плоскостью.

Показать решение
Отсекаемый конус подобен исходному с коэффициентом $\dfrac{3}{4}$.
$V = 128\cdot\left(\dfrac{3}{4}\right)^3 = 128\cdot\dfrac{27}{64} = 54$
Ответ: 54
Задача 2.7

Даны два шара с радиусами 25 и 125. Во сколько раз площадь поверхности большего шара больше площади поверхности меньшего?

Показать решение
$\dfrac{S_2}{S_1} = \left(\dfrac{R_2}{R_1}\right)^2 = \left(\dfrac{125}{25}\right)^2 = 25$
Ответ: 25
Задача 2.8

В сосуде, имеющем форму конуса, уровень жидкости достигает $\dfrac{3}{5}$ высоты. Объём сосуда 250 мл. Чему равен объём налитой жидкости? Ответ дайте в миллилитрах.

Показать решение
Жидкость образует конус, подобный сосуду с коэффициентом $\dfrac{3}{5}$.
$V = 250\cdot\left(\dfrac{3}{5}\right)^3 = 250\cdot\dfrac{27}{125} = 54$
Ответ: 54
Задача 2.9

Прямоугольный параллелепипед описан около цилиндра, радиус основания которого равен 8. Объём параллелепипеда равен 512. Найдите высоту цилиндра.

Показать решение
$a = 2R = 16,\ S_{осн} = 16^2 = 256$
$h = \dfrac{V}{S} = \dfrac{512}{256} = 2$
Ответ: 2
Задача 2.10

Конус и цилиндр имеют общее основание и общую высоту (конус вписан в цилиндр). Вычислите объём конуса, если объём цилиндра равен 75.

R h
Показать решение
Объём конуса в 3 раза меньше объёма цилиндра с тем же основанием и высотой.
$V_{кон} = \dfrac{1}{3}\cdot 75 = 25$
Ответ: 25
Задача 2.11

Во сколько раз увеличится объём конуса, если радиус его основания увеличится в 11 раз, а высота останется прежней?

Показать решение
Объём пропорционален квадрату радиуса: $V = \dfrac{1}{3}\pi R^2 h$.
$V_2 / V_1 = 11^2 = 121$
Ответ: 121
Задача 2.12

Дано два цилиндра. Объём первого цилиндра равен 15. У второго цилиндра высота в 3 раза меньше, а радиус основания в 2 раза больше, чем у первого. Найдите объём второго цилиндра.

Показать решение
$V_2 = V_1\cdot\dfrac{R_2^2}{R_1^2}\cdot\dfrac{h_2}{h_1} = 15\cdot 4\cdot\dfrac{1}{3} = 20$
Ответ: 20
Задача 2.13

Цилиндр и конус имеют общее основание и общую высоту. Объём цилиндра равен 6. Найдите объём конуса.

Показать решение
$V_{кон} = \dfrac{1}{3}\cdot V_{цил} = \dfrac{6}{3} = 2$
Ответ: 2
Задача 2.14

Цилиндр и конус имеют общее основание и высоту. Высота цилиндра равна радиусу основания. Площадь боковой поверхности цилиндра равна $6\sqrt{2}$. Найдите площадь боковой поверхности конуса.

Показать решение
Обозначим $R = h$. Тогда $S_{цил} = 2\pi R\cdot h = 2\pi R^2 = 6\sqrt{2}$, значит $\pi R^2 = 3\sqrt{2}$.
$l = \sqrt{R^2 + h^2} = R\sqrt{2}$
$S_{кон} = \pi R\cdot l = \pi R^2\sqrt{2} = 3\sqrt{2}\cdot\sqrt{2} = 6$
Ответ: 6
Задача 2.15

Цилиндр, объём которого равен 18, описан около шара. Найдите объём шара.

Показать решение
Цилиндр описан около шара: $h = 2R$, $r = R$.
$V_{цил} = \pi R^2\cdot 2R = 2\pi R^3 = 18 \Rightarrow \pi R^3 = 9$
$V_{шара} = \dfrac{4}{3}\pi R^3 = \dfrac{4}{3}\cdot 9 = 12$
Ответ: 12
Задача 2.16

Шар вписан в цилиндр. Площадь полной поверхности цилиндра равна 30. Найдите площадь поверхности шара.

Показать решение
Шар вписан в цилиндр: $h = 2R$.
$S_{цил} = 2\pi R\cdot 2R + 2\pi R^2 = 6\pi R^2 = 30 \Rightarrow \pi R^2 = 5$
$S_{шара} = 4\pi R^2 = 20$
Ответ: 20
Задача 2.17

Конус вписан в шар. Радиус основания конуса равен радиусу шара. Объём конуса равен 12. Найдите объём шара.

Показать решение
Радиус основания конуса равен радиусу шара, значит высота конуса равна радиусу шара: $h = R$.
$V_{кон} = \dfrac{1}{3}\pi R^2\cdot R = \dfrac{1}{3}\pi R^3 = 12 \Rightarrow \pi R^3 = 36$
$V_{шара} = \dfrac{4}{3}\pi R^3 = \dfrac{4}{3}\cdot 36 = 48$
Ответ: 48
Готово!

Проверьте себя: если какая-то задача не получилась — откройте решение, разберитесь в шагах и попробуйте решить её заново без подсказки.

Made on
Tilda