Личный кабинет

Планиметрия | Тест

ЕГЭ профиль · Задание 1

Введите ответ в поле и нажмите «Проверить». Если затрудняетесь — раскройте блок «Показать решение». Ответы можно вводить как с точкой, так и с запятой.

БЛОК 1 | Треугольники и четырёхугольники

Часть 1

Задача 1.1

В треугольнике АВС угол В равен 85°, угол С равен 45°, АD — биссектриса. На стороне АС выбрана точка N так, что AN = AB. Найдите угол CDN. Ответ дайте в градусах.

Показать решение
$\angle A = 180^\circ - 85^\circ - 45^\circ = 50^\circ$
AD — биссектриса, $\angle BAD = \angle DAC = 25^\circ$.
$\angle ADC = 110^\circ,\ \angle ADN = 70^\circ \Rightarrow \angle CDN = 40^\circ$
Ответ: 40
Задача 1.2

Углы треугольника относятся как 1 : 2 : 6. Найдите больший угол треугольника. Ответ дайте в градусах.

Показать решение
$x + 2x + 6x = 180^\circ \Rightarrow x = 20^\circ,\ 6x = 120^\circ$
Ответ: 120
Задача 1.3

Два угла треугольника равны 47° и 103°. Найдите угол между прямыми, содержащими высоты треугольника, выходящие из вершин этих углов. Ответ дайте в градусах.

Показать решение
$\angle C = 180^\circ - 47^\circ - 103^\circ = 30^\circ$
Ответ: 30
Задача 1.4

В треугольнике АВС стороны АС, СВ и АВ равны соответственно 8, 10 и 14. Найдите $\cos C$.

Показать решение
$196 = 64 + 100 - 160\cos C \Rightarrow \cos C = -0{,}2$
Ответ: −0,2
Задача 1.5

Точки К и Р являются серединами сторон АВ и СВ треугольника АВС. Стороны АС, АВ и СВ соответственно равны 12, 14 и 23. Найдите КР.

Показать решение
$KP = \dfrac{AC}{2} = 6$
Ответ: 6
Задача 1.6

Найдите периметр ромба, если один из его углов равен 120°, а меньшая диагональ равна 14.

Показать решение
$a = 14 \Rightarrow P = 4a = 56$
Ответ: 56
Задача 1.7

Диагонали АС и ВD трапеции АВСD с основаниями АD и ВС пересекаются в точке О, АD = 24, ВС = 8, АС = 16. Найдите АО.

Показать решение
$\dfrac{AO}{OC} = \dfrac{AD}{BC} = 3,\ AO = \dfrac{3}{4}\cdot 16 = 12$
Ответ: 12
Задача 1.8

В прямоугольном треугольнике АВС, угол С — прямой, высота СН = 21, $\operatorname{tg} A = 1{,}4$. Найдите длину отрезка АН.

Показать решение
$\dfrac{21}{AH} = 1{,}4 \Rightarrow AH = 15$
Ответ: 15

Часть 2

Задача 1.9

В равностороннем треугольнике АВС высота СН равна $45\sqrt{3}$. Найдите АВ.

Показать решение
$45\sqrt{3} = \dfrac{a\sqrt{3}}{2} \Rightarrow a = 90$
Ответ: 90
Задача 1.10

В треугольнике АВС угол С равен 90°, АС = 6, $\operatorname{tg} A = \dfrac{\sqrt{5}}{2}$. Найдите АВ.

Показать решение
$BC = 3\sqrt{5},\ AB = \sqrt{36 + 45} = 9$
Ответ: 9
Задача 1.11

В треугольнике АВС угол А равен 56°, углы В и С — острые, высоты BD и CE пересекаются в точке О. Найдите угол DOE. Ответ дайте в градусах.

Показать решение
$\angle DOE = 360° - 90° - 90° - 56° = 124°$
Ответ: 124
Задача 1.12

Острый угол В прямоугольного треугольника равен 66°. Найдите угол между биссектрисой CD и медианой CM, проведёнными из вершины прямого угла. Ответ дайте в градусах.

Показать решение
$\angle MCD = 45° - 24° = 21°$
Ответ: 21
Задача 1.13

В треугольнике АВС АС = ВС, АВ = 20, высота АН равна 8. Найдите синус угла ВАС.

A B C H
Показать решение
$\sin\angle BAC = 0{,}4$
Ответ: 0,4
Задача 1.14

Острые углы прямоугольного треугольника равны 84° и 6°. Найдите угол между высотой и медианой, проведёнными из вершины прямого угла. Ответ дайте в градусах.

A B C M H
Показать решение
$\angle MCH = 84° - 6° = 78°$
Ответ: 78
Задача 1.15

В треугольнике АВС угол В равен 47°, угол С равен 81°, AD – биссектриса. На стороне АВ выбрана точка Е так, что АЕ = AD. Найдите угол BDE.

Показать решение
$\angle A = 52°,\ \angle ADB = 107°,\ \angle ADE = 77°,\ \angle BDE = 30°$
Ответ: 30
Задача 1.16

В треугольнике АВС известно, что АС = ВС, высота АН равна $6\sqrt{6}$, ВН = 3. Найдите $\cos\angle BAC$.

Показать решение
$AB = 15,\ \cos\angle ABC = 0{,}2$
Ответ: 0,2
Задача 1.17

В треугольнике ABC известно, что AB = BC. Найдите угол BCA, если внешний угол при вершине В равен 134°.

Показать решение
$\angle B = 46°,\ \angle BCA = 67°$
Ответ: 67
Задача 1.18

В равнобедренной трапеции диагонали перпендикулярны. Высота трапеции равна 48. Найдите её среднюю линию.

Показать решение
$m = h = 48$
Ответ: 48
Задача 1.19

Два угла треугольника равны 35° и 103°. Найдите тупой угол между прямыми, содержащими высоты треугольника, выходящие из вершин этих углов.

Показать решение
$\angle C = 42°,\ 180° - 42° = 138°$
Ответ: 138
Задача 1.20

В треугольнике ABC угол B равен 135°, угол C равен 30°, $AB = 10\sqrt{2}$. Найдите AC.

Показать решение
$AC = 10\sqrt{2}\cdot\dfrac{\sqrt{2}/2}{1/2} = 20$
Ответ: 20
Задача 1.21

В тупоугольном треугольнике АВС известно, что АС = ВС = 10, высота АН равна $\sqrt{51}$. Найдите косинус угла АСВ.

A B C H
Показать решение
$CH = 7,\ \cos\angle ACH = 0{,}7 \Rightarrow \cos\angle ACB = -0{,}7$
Ответ: −0,7
Задача 1.22

В треугольнике KMN точки А и С являются серединами сторон КМ и МN соответственно. Отрезки КС и AN пересекаются в точке О, КС = 24, NA = 36. Найдите КО.

Показать решение
$KO = \dfrac{2}{3}\cdot 24 = 16$
Ответ: 16
Задача 1.23

Острый угол В прямоугольного треугольника равен 50°. Найдите угол между высотой СН и медианой СМ, проведёнными из вершины прямого угла. Ответ дайте в градусах.

A B C M H
Показать решение
$\angle MCH = 50° - 40° = 10°$
Ответ: 10
Задача 1.24

Основания равнобедренной трапеции равны 8 и 32, боковая сторона 13. Найдите высоту трапеции.

Показать решение
$\dfrac{32 - 8}{2} = 12,\ h = 5$
Ответ: 5
Задача 1.25

В прямоугольном треугольнике АВС угол С — прямой, высота СН = 8, $\operatorname{tg} B = 0{,}8$. Найдите длину отрезка ВН.

Показать решение
$\dfrac{8}{BH} = 0{,}8 \Rightarrow BH = 10$
Ответ: 10
Задача 1.26

В треугольнике ABC угол C равен 46°, AD и BE — биссектрисы, пересекающиеся в точке O. Найдите угол AOB. Ответ дайте в градусах.

C A B D E O
Показать решение
$\angle AOB = 90° + \dfrac{46°}{2} = 113°$
Ответ: 113

БЛОК 2 | Площади

Часть 1

Задача 2.1

Найдите площадь треугольника, если одна из его сторон равна 5, другая сторона равна 12, а угол между ними равен 30°.

Показать решение
$S = \dfrac{1}{2}\cdot 5\cdot 12\cdot\sin 30° = 15$
Ответ: 15
Задача 2.2

На стороне АС треугольника АВС отмечена точка Р. Площадь треугольника АВС равна 38. Найдите площадь треугольника ВСР, если АР = 7, РС = 12.

Показать решение
$AC = 19,\ S_{BCP} = 38\cdot\dfrac{12}{19} = 24$
Ответ: 24
Задача 2.3

Найдите площадь прямоугольника, если его диагональ равна 13, а одна из сторон равна 5.

Показать решение
$b = 12,\ S = 60$
Ответ: 60
Задача 2.4

Найдите большую высоту параллелограмма, если две его стороны равны 14 и 35, а меньшая высота равна 2.

Показать решение
$S = 70,\ h = \dfrac{70}{14} = 5$
Ответ: 5
Задача 2.5

Найдите площадь ромба, если его периметр равен 36, а один из углов равен 150°.

Показать решение
$a = 9,\ S = 81\cdot\sin 30° = 40{,}5$
Ответ: 40,5
Задача 2.6

Площадь прямоугольника ABCD равна 600, $\operatorname{tg}\angle ACD = 1{,}5$. Найдите длину CD.

Показать решение
$1{,}5a^2 = 600 \Rightarrow a = 20$
Ответ: 20
Задача 2.7

Найдите площадь равнобедренной трапеции, основания которой равны 28 и 60, а боковая сторона равна 20.

Показать решение
$h = 12,\ S = 44\cdot 12 = 528$
Ответ: 528
Задача 2.8

Площадь кругового сектора, центральный угол которого равен 90°, равна 23. Найдите площадь всего круга.

Показать решение
$S_{кр} = 23\cdot 4 = 92$
Ответ: 92

Часть 2

Задача 2.9

В треугольнике АВС проведена средняя линия DE. Площадь треугольника CDE составляет 24. Требуется найти площадь треугольника АВС.

B D E A C
Показать решение
$S_{ABC} = 4\cdot 24 = 96$
Ответ: 96
Задача 2.10

В треугольнике две стороны имеют длины 21 и 28. Высота, опущенная на большую из этих сторон, равна 15. Необходимо найти высоту, опущенную на меньшую из сторон треугольника.

Показать решение
$S = 210,\ h = \dfrac{420}{21} = 20$
Ответ: 20
Задача 2.11

Площадь параллелограмма ABCD равна 132. Точка G — середина стороны CD. Нужно найти площадь трапеции ABGD.

Показать решение
$S_{ABGD} = 132 - 33 = 99$
Ответ: 99
Задача 2.12

В треугольнике АВС средняя линия DE параллельна стороне АВ. Найдите площадь треугольника АВС, если площадь трапеции АВЕD равна 36.

C D E A B
Показать решение
$\dfrac{3S}{4} = 36 \Rightarrow S = 48$
Ответ: 48
Задача 2.13

В параллелограмме ABCD точка E — середина стороны AD. Найдите площадь параллелограмма ABCD, если площадь трапеции BCDE равна 72.

B C A E D
Показать решение
$\dfrac{3S}{4} = 72 \Rightarrow S = 96$
Ответ: 96
Задача 2.14

Площадь ромба равна 9. Одна из его диагоналей в 8 раз больше другой. Найдите меньшую диагональ.

Показать решение
$4d^2 = 9 \Rightarrow d = 1{,}5$
Ответ: 1,5

БЛОК 3 | Задачи, связанные с окружностью

Часть 1

Задача 3.1

В окружности с центром в точке О проведены диаметры AD и BC, угол OAB равен 75°. Найдите величину угла BOD. Ответ дайте в градусах.

Показать решение
$\angle AOB = 30°,\ \angle BOD = 150°$
Ответ: 150
Задача 3.2

Вписанный острый угол опирается на хорду окружности, равную её радиусу. Найдите градусную меру этого угла.

Показать решение
Центральный 60°, вписанный = 30°
Ответ: 30
Задача 3.3

Точки А и В делят окружность на две дуги. Найдите величину центрального угла, опирающегося на меньшую из них, если длины дуг относятся как 7 : 13. Ответ дайте в градусах.

Показать решение
$20x = 360°,\ x = 18°,\ 7x = 126°$
Ответ: 126
Задача 3.4

К окружности с центром в точке О проведены касательная АВ (В — точка касания) и секущая АО. Найдите радиус окружности, если АВ = 8 см, АО = 10 см.

Показать решение
$R = \sqrt{100 - 64} = 6$
Ответ: 6
Задача 3.5

В угол С вписана окружность, которая касается сторон угла в точках А и В, точка О — центр окружности, $\angle AOB = 132°$. Найдите угол С. Ответ дайте в градусах.

Показать решение
$\angle C = 180° - 132° = 48°$
Ответ: 48
Задача 3.6

Радиус окружности, вписанной в квадрат, равен $3\sqrt{2}$. Найдите радиус окружности, описанной около этого же квадрата.

Показать решение
$a = 6\sqrt{2},\ R = 6$
Ответ: 6

Часть 2

Задача 3.7

Хорда АВ стягивает дугу окружности, равную 92°. Определите величину угла АВС, который образован этой хордой и касательной линией, проведённой к окружности через точку В. Ответ выразите в градусах.

B C A O
Показать решение
$\angle ABC = \dfrac{92°}{2} = 46°$
Ответ: 46
Задача 3.8

Четырёхугольник ABCD вписан в окружность. Известно, что угол ABC составляет 82°, а угол ABD — 47°. Рассчитайте величину угла CAD. Ответ предоставьте в градусах.

Показать решение
$\angle CBD = 35°,\ \angle CAD = 35°$
Ответ: 35
Задача 3.9

Известно, что угол АСВ равен 54°. Градусная мера дуги АВ (окружности, не содержащей точек D и E) составляет 138°. Найдите величину угла DAE. Ответ дайте в градусах.

B D E A C
Показать решение
$\smile DE = 30°,\ \angle DAE = 15°$
Ответ: 15
Задача 3.10

Радиус окружности равен $\sqrt{6}$. Найдите величину тупого вписанного угла, опирающегося на хорду, равную $3\sqrt{2}$. Ответ дайте в градусах.

Показать решение
Центральный 120°, тупой вписанный = 120°
Ответ: 120
Задача 3.11

Боковые стороны трапеции, описанной около окружности, равны 7 и 4. Найдите среднюю линию трапеции.

Показать решение
$m = \dfrac{11}{2} = 5{,}5$
Ответ: 5,5
Задача 3.12

Четырёхугольник ABCD вписан в окружность. Угол ABC равен 106°, угол CAD равен 69°. Найдите угол ABD. Ответ дайте в градусах.

A B C D
Показать решение
$\smile AD = 74°,\ \angle ABD = 37°$
Ответ: 37
Готово!

Проверьте себя: если какая-то задача не получилась — откройте решение, разберитесь в шагах и попробуйте решить её заново без подсказки.

Made on
Tilda